Симметрия и разделение переменных - Миллер У.
Скачать (прямая ссылка):
изученной нами в гл. 1. Следовательно, вычисленные в гл. 1 спектральные
разложения и м.э.с. б. можно использовать для волнового уравнения.
Теперь найдем системы координат, допускающие разделение переменных в
уравнении (1.1) и такие, что базисные функции Т являются собственными
функциями оператора Р2: 7W = -icoW. Для таких систем Чг(х) = ехр(-
га>х2)Ф(х0, xi), причем
(<Эоо-<Эц + сй2)Ф = 0. (3.3)
Оператор Р2 коммутирует с подалгеброй <§Г(1, 1), порождаемой операторами
Ро, Pi, M0i, а <§Г(1, 1) является алгеброй симметрии уравнения (3.3). Это
уравнение имеет решения с разделенными переменными в десяти системах
координат, которым соответствуют десять операторов симметрии второго
порядка в обвертывающей алгебре алгебры <§Г(1, 1); см. табл. 2. В табл.
19 перечисляются пары коммутирующих операторов, отвечающих
соответствующим решениям с разделенными переменными уравнения (1.1).
Случай 3' эквивалентен случаю 3 табл. 18.
Условие P2f = -гсо/ в Ж+ влечет соотношение /(к) = = б(*2 - co)g'a>(^),
где - оо < СО < ОО, ki = j 1 sh ?, k0 = = |?2|ch?. Задача определения
собственных функций сводится к рассмотрению гильбертова пространства
L2(R), в котором действие группы ?(1, 1) задается операторами
Я0 = *'1 " |ch?, Р\ = - i j со |sh?, Af0i = dg. (3.4)
Эти операторы определяют унитарное неприводимое представление группы
?(1,1) в L2(R). Коль скоро собственные функции ?Ши(|) второго оператора в
строках 7-15 табл. 19 определены, Таблица 19
3' Р% Ро, Р1 11 Р% Mh-PoPi
7 р% м201 12 Р2 М%х + (Р0 + P{f
8 Р% {Мои ?1} 13 Р% Mli-(P0 + Pij
9 Р% {^01> ро) 14 Р% Mol + р\
10 Р\, {Л401, P0_WP1) + (P0 + P1)* 15 р% м1-р\
286 Гл. 4. Волновое уравнение
соответствующие решения Ч'щц с разделенными переменными уравнения (1.1)
можно получить, используя формулу
ОО
Ч'ои (х) = (4л)-1 ехр (-тх2) $ ехр [г | to |(x0 ch g - sh ?)] gm (?)
(3.5)
Данная модель идентична L2(R)-модели гл. 1, и поэтому вычисленные Там
спектральные разложения и м. э. с. б. можно использовать и для волнового
уравнения.
Определим системы координат, допускающие разделение переменных уравнения
(1.1) и такие, что базисные функции 'К являются собственными функциями
оператора D: D4? = -jVF. В этом случае мы имеем 4f(x)= p'v-1/2<I>(s), где
*a = Psa (р>°). 4 - s2 - s\ = е,
а е равно или ±1, или 0 в зависимости от того, какое из соотношений х-х >
0, х-х < 0 или х-х = 0 имеет место. Из (1.14Ш) следует, что
(ЛГ?2 - Мо\ - М12) Ф (s) = (v2 + lh) Ф (s). (3.6)
Операторы Маа (см. (1.3)) удовлетворяют соотношениям коммутирования
[М12, ¦^4oi]== - М02, [Л412, М02\ -Мй\, [Л40ь Мй2\ -М\2, (3.7)
следовательно, они образуют базис подалгебры sl(2,R)^ so (2,1) (см. разд.
2.1). Теперь оператор D коммутирует с этой подалгеброй, а 50(2, 1)
является группой симметрии уравнения (3.6). Оператор Казимира М\2 - - М%2
коммутирует
со всеми элементами алгебры so (2, 1). Как показано в работе
[38], пространство операторов симметрии второго порядка в обвертывающей
алгебре алгебры so (2, 1) по модулю оператора Казимира разбивается
сопряженным действием группы 50(2, 1) на девять типов орбит. (Группы
50(2, 1) и SL(2,R) локально изоморфны.) Более того, приведенное уравнение
(3.6) допускает решения с разделенными переменными в девяти системах
координат, причем каждая из этих систем соответствует единственной орбите
оператора. Системы координат для е = 1 можно найти в [57, 107], причем
для е = 1 уравнение (3.6) является уравнением на собственные значения для
оператора Лапласа на гиперболоиде. Системы координат для е = ±1, 0
приведены в работе [60]. Поскольку в вышеуказанных работах проводится
подробный анализ систем координат для перечисленных случаев, мы здесь
указываем (табл. 20) только функциональные формы решений с разделенными
переменными уравнения (3.6), названия систем координат и пары
коммутирующих операторов,
4.3. Диагонализация операторов Р0. Pi и D 287
Таблица 20
Операторы Координаты Функции от разделенных переменных
16 D2, М\2 Сферические Экспоненциальная
Присоединенная Лежандра
17 D\ Ml Эквидистантные Экспоненциальная
Присоединенная Лежандра
Г D\ (М12^-Мо2)! Г ороциклические Экспоненциальная Макдональда
18 D2, М22 + a2Ml Эллиптические Периодическая Ламе
Периодическая Ламе
19 D2, Ml - а2М |2 0 < а < 1 Г иперболические Ламе - Вангерина Ламе
- Вангерина
20 D2, aMl - {М12, М02}, Полугиперболи- Ламе - Вангерина
0 < а ческие Ламе - Вангерина
21 D2, aM2Ql + М2т + М\2 - Эллиптико-пара- Присоединенная Лежан-
- {Ml2, M0j}, 0 < а болические дра Присоединенная Лежан-
дра
22 D2, - aMl + Л4 + Гиперболико-па- Присоединенная Лежан-
1 1 же f 1 Ж 1 ж \ раболические дра
+ ^12 ~ {М\2, Л^ог}* Присоединенная Лежан-
0 < а ДРа
23 D\ {Моь М02) - Полукруговые па- Бесселя
- {Mi2, Moil раболические Макдональда
связанных с соответствующими решениями с разделенными переменными
уравнения (1.1). Система Т эквивалентна системе 7.
Условие Df - -ivf в 2@+ влечет соотношение /(к) = - k-iv~l/2hv(Q), где -
