Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Простейший пример квазигруппы преобразований возникает в гамильтоновой механике со связями. Если в фазовом пространстве действует группа преобразований, то оказывается, что на поверхностях, удовлетворяющих уравнениям связей (на связях), она индуцирует, вообще говоря, квазигруппу преобразований [8]. Примечательно, что в случаях, когда бесконечная группа Ли задается через AS-систему, т.е. линейную однородную систему дифференциальных уравнений, для которой коммутатор двух векторных полей (решений этой системы) снова есть решение [94] ,она является конечнопараметрической квазигруппой.
Развитие геометрии в последние годы выявило глубокую связь между неассоциативными алгебраическими и дифференциально-геометрическими структурами. Так, Л.В. Сабининым [121] было показано, что многообразие с линейной связностью можно рассматривать как специального вида алгебру (в общем случае неассоциативную) с частичными операциями. В этой конструкции важную роль играют левые геодезические лупы. (Лупы отличаются от групп лишь тем, что операция умножения в них неассоциативна.) Весьма впечатляет то обстоятельство, что неассоциа-тивность является алгебраическим эквивалентом кривизны и кручения.
Квазигруппы преобразований. Пусть р ЄШ - некоторая точка на многообразии т (здесь Ш не обязательно пространство-время), задаваемая в локальной карте координатами {х\ і =1, 2, . . . , п. Кроме того, пусть заданы п независимых функций f (х, в), где параметры ва (а = 1, 2, ..., г) существенны, т.е. ранг матрицы df* /два равен г. Уравнениях'7 = = Ґ (х, в) для каждрго фиксированного набора параметров {0Э} определяют преобразование точки р (х) в точку р'(х') . В силу предположения о независимости функций f (х, в) якобиан преобразования отличен от нуля, и, следовательно, существует обратное преобразование
Xі = f'V, в) .
97
В дальнейшем будем предполагать, что функции f l (х, в) обладают необходимой степенью гладкости по координатам и параметрам.
Запишем преобразования координат символически в виде
х' = XTq . (3.55)
Множество преобразований {7^} образует непрерывную квазигруппу преобразований, если
1) задан закон умножения преобразований:
хТв T0, = XTtpie 0.. х), причем
?>а (в, 0; х) = в3 и / (0, в'- х) = в'а ;
2) операция умножения параметров квазиассоциативна:
?(6, ір(в\ в"; xTq)\ х) = <р(<р(в, вх), вх) ;
3) существует обратное преобразование: х = x'Tq *;
4) преобразование T0 : хТ0 = f (х, 0) — тождественное.
Этими соотношениями определено правое действие квазигруппы на Ж, аналогично определяется левое действие. Как видно из определения, умножение в квазигруппе, в отличие от группы, зависит от точек многообразия Ж.
Генераторы инфинитезимальных преобразований определяются с помощью соотношений
га
df1<х,0) дв3
0=0 Ъх‘ а Э*'
Э
= R1 (ж) —- . (3.56)
причем при их коммутировании возникают не структурные константы, а структурные функции
[Га, Гй] = Ccab Wrtf. (3.57)
Они удовлетворяют модифицированным тождествам Якоби
¦ Cc* ¦ cfA * СІЛ, - °- 13 58I
Теорема [8]. Пусть даны функции R1g и Cabc, удовлетворяющие уравнениям (3.58); тогда локально квазигруппа преобразований восстанавливается как решение систем дифференциальных уравнений:
Эх • н
---- = /?'(х)Х*(0, х);
Ъва d 3
Z(O) = Xі ;
98
(3.59)
к
двс
эх!
+ <4- °'
(0, х)
дв‘
= ба
Ь •
(3.60)
Система уравнений (3.59) — аналог уравнений Ли, а система (3.60) — условие интегрируемости — является аналогом уравнений Маурера— Картана в теории групп Ли.
Дальнейшее рассмотрение ограничим инфинитезимальным вариантом теории. Будем предполагать, что квазигруппа преобразований действует на многообразии Pt имеющем структуру расслоенного пространства, т.е. локально P=^xf, где Ш— база (здесь и ниже Ш— пространство-время) ; F — слой. Для наших целей достаточно рассмотреть случай главного квазигруппового расслоения, т.е. когда слой F как многообразие совпадает со структурной квазигруппой Q. Пусть {Xа} — локальные координаты наЖ и I/4} — локальные координаты на Q: a =
= 0, 1, 2,3; А = 1,2......./?. Тогда каждая точка р Є P имеет
координаты (х, q) = (xa, Ya), х ElTJL, q Є Q. Слой F = Qx определяется как Qx = 7Г1 (х), где я — каноническая проекция, дей-
ствующая в локальных координатах естественным образом: я (x, q) =х.
Инфинитезимальная квазигруппа преобразований полностью описывается ее генераторами Г/ и структурными функциями Cp.. :
Ir,. Г,I - Cjr,;
здесь индексы i, j, р пробегают полный набор значений (а, А) . Обозначим генераторы, касательные к слою (т.е. вертикальные векторы),
С Ь. у)ЫЪув
(3.61)
~А uA
и оставшиеся четыре генератора, действующие на базе,
Ta = Ьр(х, у)ЫЪхр + В*(х, у) ЫЪуА. (3.62)
После такого разбиения совокупности генераторов на две группы коммутационные соотношения примут вид:
ITn
и.
00 lA
C‘.ALB'
ЦІ -caAB7a* cABlO
(3.63)
Для того чтобы коммутатор вертикальных векторных полей, касательных к слою, оставался вертикальным вектором, необходимо потребовать (?АВ =0.