Динамика полей в общей теории относительности: Системы отсчета. Законы сохранения. Асимптотическая структура - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Подведем итоги, прежде чем перейти к исследованию этих одноиндексных величин. Интегрирование тензорных плотностей не может дать математически (и физически) осмысленных величин, кроме скаляров, и тогда тензорная плотность — это контравариантиая векторная плотность. Ни псевдотензоры, ни обычный тензор энергии-импульса поэтому не годятся сами по себе для построения интегральных конструкций: необходимо привлечь еще векторное поле (вспомним ?) или систему таких полей, так как требуется найти ряд интегральных величин — в СТО, по крайней мере, все "компоненты" энергии-импульса и момента, а также информацию о
91
центре масс. Преобразование этих "компонент" не связано теперь с преобразованием координат — все они суть» скаляры; речь идет о преобразовании старых "компонент" в новые при переходе от одной системы генераторов преобразований Пуанкаре к другой системе таких генераторов. Мы привыкли в СТО говорить о преобразованиях интегральных величин, так как обычно, работая в декартовых координатах, преобразуем эти координаты соответственно переходам между системами генераторов группы Пуанкаре, хотя координаты можно было бы и не трогать. Эта картина становистя ясной, лишь когда мы разобрались в структуре ОТО с представлениями о системах отсчета в ней и о тетрадных базисах; иначе трудно преодолеть инерцию традиций, связанных с системами координат и их неправомерно универсальным отождествлением с системами отсчета.
Заметим еще, что многие авторы (не будем специально указывать конкретные работы — это пройденный этап) посвящали свои исследования анализу нековариант-ности псевдотензоров и строили системы координат, в которых те или иные их компоненты (иногда и все сразу) обращались в нуль. В этих работах был допущен ряд некорректностей, но основная идея верна: псевдотензоры не могут быть
исключительным основанием для описания энергии-импульса в ОТО. Они пригодны (если выйти за рамки островных систем с асимптотически декартовыми координатами) лишь в качестве строительного материала, в состав которого необходимо еще включить плотность обобщенного спина и плотность биспина.
3.4. ОДНОИНДЕКСНЫЕ СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ
Как было показано выше, на основании (3.31) и (3.32) псевдотен-
зорные величины - или - и P следует (слабым образом) связывать
с знергией-импульсом полной системы полей. Ввиду инвариантности закона сохранения (3.30) (конечно, когда лагранжиан — строго скалярная плотность) в слабом же смысле и — на выбор — для X t или ? д введем обозначение:
Определенная так 4-компонентная величина является контравариант-ной векторной плотностью с весом +1 при произвольных преобразованиях координат [см. вывод законов (3.41) — (3.43)]. Здесь видно, что псевдотензор энергии-импульса не играет самостоятельной роли, но используется в качестве строительного материала наряду со спином и биспином. Путем тождественных преобразований сохраняющуюся по закону
HOa =
(3.44)
(3.45)
величину HOa можно привести к виду
(3.46)
или
92
г
(антисимметрия выражения под знаком дивергенции в последнем случае указывает, что его можно строго рассматривать как суперпотенциал в духе фон Фройда; этот суперпотенциал является антисимметричной тензорной плотностью относительно произвольных преобразований). При выводе выражений (3.46) и (3.47) были использованы тождества Нётер.
В случае лагранжиана X д (3.25), когда существенным образом к6 Ф 0 выражение (3*47) можно привести к виду
(“7 4Та1^/з),т' (3-48)
а при учете (3.37) и к виду
HOa= (1/к) <>ЛТ$1г; «1) т = (1/к) (Vr=? ^)^-(3.49)
Эту же конструкцию (соответственно с точностью до коэффициента
2 и 4) получили иными способами, исходя из идей Мёллера и теоремы Гаусса, Комар [57] и Пирани [107, 26]. В близком направлении проводил исследования Траутман [134]. Векторная плотность (3.49) — простейший случай одноиндексной сохраняющейся величины, удовлетворяющей требованиям простоты [в смысле низших производных векторного поля ? и низших степеней входящих в (3.49) величин] единственным образом. Идея одноиндексных сохраняющихся величин впервые возникла в групце Бергмана.
Подчеркнем, что теорема Нётер не приводит автоматически к стандартной величине интегральной энергии и ее плотности для ньютоновского приближения (подробнее см. в [77]). Так, добавление в лагранжиан ди-вергенциального члена меняет, вообще говоря, обе эти величины; то же происходит и при изменении нормировки векторного поля ?.
Поле контравариантного вектора ?, комбинируемого с получаемыми из лагранжиана величинами в (3.44), (3.46) и (3.47), выбирают из соображений, выходящих за рамки собственно теоремы Нётер. В таком качестве часто берут поле тетрады или поле монады при соответствующем определении системы отсчета; в первом случае получающуюся четверку величин (нумеруемых с помощью свободного тетрадного индекса) можно понимать как совокупность "компонент" энергии-импульса, а во втором— как энергию в рассматриваемой системе отсчета. Однако тогда представлялось бы более последовательным перейти и в лагранжиане гравитационного поля от метрического тензора к тетрадным векторам (или, соответственно, к монаде и 3-мерной метрике), минимизируя конструкцию лагранжиана в рамках соображений инвариантности путем отбрасывания дивергенциальных членов. Это приводит к иным выражениям, чем (3.49). Более тесная связь со свойствами симметрии пространства-времени достигается, если взять вместо ? векторы КилЛинга, что и делается при получении законов сохранения в плоском мире в инерциальных системах