Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
6.9. Элементы теории матрицы рассеяния
Как для конкретных расчетов, так и вообще в используемом здесь формализме квантования полей, за основу берется представление взаимодействия. Поэтому все рассмотрение проводится на фоне плоского пространства (оно могло бы производиться и на фоне классического искривленного мира вообще), причем квантовое гравитационное поле (в более общем случае — часть полного гравитационного поля) предполагается слабым. Этим обусловлено использование разложений конструкций, включающих метрический тензор и его производные, по степеням гравитационной постоянной (точнее — по параметру к = ~j2x), причем все члены ненулевого порядка рассматриваются как возмущение (взаимодействие с гравитацией и с полем сил инерции). Как обычно, это взаимодействие можно формально включать и выключать, если ввести показатель включения взаимодействия g(x): при g(x) = 1 взаимодействие полностью включено, при g(x) = О оно полностью выключено, 0 ^ g(x) ^ 1. Тогда упомянутые разложения имеют вид
OO
А(х) = Л(я) + 2 (kg(х))пАп(х).
71 = 1
Это позволяет провести в точности тот же анализ, что и представленный в монографии Боголюбова и Ширкова (гл. 3). Этот анализ ни в коей мере
(6.9.1)
231
не специфичен для гравитационного взаимодействия, но, напротив, характерен вообще для квантовой теории взаимодействующих полей, которая не располагает прямыми методами исследования взаимодействия. Поэтому мы не проводим здесь этого анализа в деталях, отсылая читателя к только что упомянутой монографии Боголюбова и Ширкова либо к обширному труду Швебера (1963). Цель же настоящего параграфа состоит в том, чтобы дать сводку необходимых понятий теории матрицы рассеяния и ее основных выводов, на чем основываются все расчеты конкретных эффектов, выполненные в следующем разделе.
Рассматривая процессы, в которых начальные и конечные состояния включают лишь свободные частицы (этот случай, соответствующий теории
5-матрицы, разработан наиболее детально), мы можем свести задачу об определении эволюции амплитуды состояния во времени к задаче о нахождении конечной амплитуды состояния по заданной начальной, точнее, о нахождении вероятности такого перехода. Этот переход определяется равенством
где оператор S называется матрицей рассеяния, или 5-матрицей.
Можно показать, что с точностью до так называемых контрчленов (см. Боголюбов и Ширков, 1957) матрица рассеяния может быть представлена в виде
где L — лагранжиан взаимодействия полей (в том числе самодействия, если поля нелинейны), а символом T обозначена операция хронологического Г-произведения: все множители в Г-произведении стоят в порядке возрастания времен справа налево. Такое произведение оказывается релятивистски инвариантным, а экспонента в (6.9.3) — символическим представлением обычного разложения экспоненты по степеням ее аргумента (вокруг нулевого значения последнего), что и оправдывает применение Г-произведения. Соответствующее доказательство опирается на четыре постулата. Это — предположения о релятивистской ковариантности матрицы рассеяния и ее унитарности, принцип причинности и принцип соответствия (сравнение с простым квазиклассическим случаем).
Итак, для конкретного расчета необходимо взять разложение
Как известно, выражение для лагранжиана (как и для динамических переменных полей) предполагает использование нормального произведения — все операторы рождения слева, все операторы уничтожения справа (при наличии фермионных функций нечетное число перестановок их в ходе реализации нормального произведения влечет изменение знака). Это требуется для устранения нефизических расходимостей (типа бесконечной «нулевой» энергии). Дальнейшее применение хронологического произведения к умноженным друг на друга величинам с нормальным перемножением в них операторов [в (6.9.6)] требует применения теоремы Вика> вследствие чего возникают хронологические спаривания оцераторов.
Ф( + 00) =50(-00)
(6.9.2)
(6.9.3)
(6.9.4)
(6.9.5)
и
S2 = -(dx) (dy)L(X)L(у).
(6.9.6)
232
Для практических целей следует перейти от хронологических произведений к нормальным для удобства вычисления матричных элементов между конкретными начальным и конечным состояниями. Хронологическое спаривание определяется как добавок к нормальному произведению двух операторов полей, необходимый для получения их хронологического произведения: _____
Т(Ав(х)Ас(у)) = : Ав(х)Ас(у) : + Ав(х)Ас(у). (6.9.7)
Иначе говоря, это есть вакуумное среднее хронологического произведения:
{Т(Ав(х)Ас(у))) о = Ав(х) Ас(у), (6.9.8)
так как вакуумное среднее нормального произведения операторов тождественно равно нулю. Заметим, что как хронологическое, так и нормальное произведение меняет знак при нечетном числе перестановок фермионных операторов.
Можно привести следующие значения спариваний для различных полей: для скалярного поля —
I I 7 (* ріяа (Xа—уа)
Ф (*) ф (») = - щг $ № m»_g2_te = -iDC <* - у)' (6-9-9>
где Dc (х) — причинная (каузальная) функция Грина:
Dc(x)= Q(XP)Dl-) (х)— Q(—x°)Dm(x); (6.9.10)*
