Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
(2/p.v(q)) =
0 0 0 0
0 h Ь2 0
0 Ь2 -Ьг .0
0 0 0 0
(6.7.92)
Здесь учтено соотношение (6.7.90); а так как рассматривались свободные частицы, то это соотношение взято в точной форме, а не для средних значений. Переход к произвольной декартовой системе координат осуществляется так же, как и в случае электродинамики, с тем лишь отличием, что ранг тензора поляризации теперь равен 2:
У Iiv = (е^v1 — еH2 ev2) bi + (еJX1 ev2 + ev1) ъ2. (6.7.93)
Рассматривая коэффициенты при операторах bi и Ьг как тензоры поляризации для двух видов гравитонов, записываем:
(eIv) = K1 ev1 — ^1X2ev2, еJX1 ev2 + eJX2ev1}, (6.7.94)
где индекс а может принимать лишь два значения (1, 2) соответственно
направлению спина гравитона по или против движения. Для более компактного выражения этих результатов полезно ввести 2-мерный символ Леви-Чивиты Eabj позволяющий записать выражение е^а в виде
^jxv == ^jx1 eva ^2 бу* Еъа* (6.7.95)
При этом, конечно,
у HV= e»vba. (6.7.96)
Полезно также учитывать ортонормированность тетрад, образованных коэффициентами преобразования еца и составляющих правый винт:
eia(q)emb(q)bab = efc3(q)ei тоь. (6.7.97)
Как виртуальные частицы они, конечно, выступают.
229
Запишем полезные соотношения для конструкций из тензора поляризации гравитонов:
^ija (q) 6hla (q) = &ia ^ka 6rn* Єп Sikm Ejin ==
а=1,2
= 6**6/* + 6?6Л* — 6/6 Ih + 6 ?e?eh* + 8№3е* —
— 6kjei3ei3 — 6??3 — 6klefeiz — 6ijei3ek3 + 6*3^??3 (6. 7* 98)
S е«(р)еы(ч) =«i1(p)eft1(q)eja(p)^“(q) +
a—1,2
+ Єі1 (p) eh2 (q) ef (p) ef (q) eca + e? (p) ehl (q) ef (p) X X Є Iа (q) Eba + Є?(p) ekz(q)ejb(p)eic(q) SbaBca =
-= «ib(р)єйь(ч) • eia(p)e(a(q) — eia (p) ekb (q)ea& • ejc(p)eid(q)ecd,
(6. 7. 99)
а также смешанные выражения, включающие поляризацию фотонов:
«Її (q) eha (q) = eilejaeka + ві2еі\ш,. (6.7.100)
пі \ h/ \ НЩт WlPm /онлпл\
Via (P) ekb (q) Sab = '—:—~ Sklm-— Eilm, (6.7.101)
|ч| IpI
причем удобно принять в соответствии с (6.7.97) гоч й 1
^i2(q) = Qi7-T--Pir^- (6.7.102)
q sin 0 I р sin 0
и
е<2 (P) = - Pl -221L + qt т—V-. (6*7.103)
I р I sm 0 I q I =sm 0
Поэтому
Cia (P) Єкь (q) e0& = - о Jh9lVTr {eW (?ft IPI cos 0 — Pft I q I) — p2qz smz 0
— eftji(gi|p| —P»|q|cos0)}. (6.7.104)
Кроме того,
qi*ij(q)= Qi^i'ef +'Єг2ЄіЬЄЬа)= о, (6.7.105)
Qie?i(p) = I q I sin Gejb(P)Sba, (6.7.106)
Рі«г“ (q) = (peS(q) )ejbBba = — |p| sine ejb(q)eba, (6.7.107)
- (P)= I q j sin 0ef (P)^e20 = — q2sin206ia, (6.7.108)
PiPjCij (q) = — p2 sin2 0 • 6ia. (6.7.109)
6.8. Альтернативные пути квантования гравитации
В приведенной сейчас процедуре квантования гравитационного поля мы существенно опирались на метрический тензор как на наиболее элементарную величину, характеризующую гравитацию. В действительности ситуация может быть и другой, как это видно из анализа аналогии между гравитацией и электромагнетизмом и квадрирования уравнения Дирака в присутствии гравитационного и электромагнитного полей.
230
В качестве наиболее элементарных характеристик гравитационного поля можно взять и Y-матрицы. Ho, как показали детальные расчеты (мы их здесь не приводим), если в предположении слабого поля разложить у-мат-рицы по степеням гравитационной постоянной, мы вновь приходим в точности к тем же самым перестановочным соотношениям, что и полученные в предыдущем параграфе, несмотря на другие выражения для динамических переменных, к которым приводит новый лагранжиан.
Можно, однако, подойти к вопросу с совершенно иных позиций. Именно, исходя из анализа, проведенного в разделе 5, можно считать поля метрического тензора g^v и символов Кристоффеля независимыми; связь между ними устанавливается лишь в среднем (по обычным для квантовой теории методам). Мы имеем тогда не одно, а два поля, связанных с гравитацией, и оба их можно квантовать. Если мы, например, откажемся ' от квантования поля метрического тензора g^v, считая его классическим (что не абсурдно с точки зрения такого подхода), то из этого предположения с неизбежностью будет вытекать принципиальное отсутствие реальных гравитонов с любыми поляризациями ввиду характерной формы квазитензора энергии-импульса; это выразится в отсутствии коммутационных соотношений. Если же мы проводим квантование обоих полей, мы получаем двп типа гравитонов, причем оператором уничтожения одного из них будет
& оператором рождения (для того же типа гравитонов) — 1’УХ, и наоборот, т. е. оба поля «переплетаются» (отчего предположение о классической природе одного из них и лишает другое квантовых свойств). Однако между ними все же не будет полной симметрии. Так, например, в лагранжиан взаимодействия электромагнитного поля с гравитационным входит лишь метрический тензор, HO не символы Кристоффеля, так что фотоны могут в такой теории излучать лишь один тип гравитонов, а поглощать — лишь другой! Такая асимметрия может оказаться, в конце концов, ответственной за выделейность направления «течения» времени. Аналогичны* выводы следуют и из квантования двух гравитационных полей, у^ и Cll (см § 4.8), связанных друг с другом опять-таки через квантовые средние. Далее мы рассматриваем лишь традиционный подход к квантованию грави-тацйи — с помощью gили у*1 (дающих одинаковые результаты).
