Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ua = TUAa= - Tfaa - UAa (3.7.16)
и имеет простой вид
С6= JA gM, а — Abaa (3.7.17)
dgM, а
1 «Квазитензор 1958 года».
2 В том случае, когда некоторый ковариантный лагранжиан приводит к существованию , т. е. когда спин М?т неантисимметричен, нетрудно вести антисимметричный суперпотенциал по правилу:
и..——[«: +і.(яГ-іГ).,].
95
'{ПОД gM понимается метрический тензор, его плотность или другие более элементарные образования).
Случаи матричного и тетрадного представлений гравитационного поля, как уже упоминалось, изоморфны между собой. Соответствующие лагранжианы переходят друг в друга при заменах типа
Подобные же замены переводят друг в друга и остальные величины, так что мы запишем их здесь совместно:
Эту величину можно выразить через антисимметричный тензор Ziiv:
Случай кватернионного представления также изоморфен двум предыдущим; для него
В дву метрическом формализме удобно пользоваться е-ковариантными производными; ввиду возможности превращения их сразу везде в частные производные (выбор системы координат) напрашивается вопрос о допустимости выбора дифференциальных законов сохранения в форме равенства нулю ?-ковариантных дивергенций. Этот вопрос мы обсудим позже, теперь же для простоты записи величин будем пользоваться символом е-ковариантной производной. Тогда для лагранжиана (3.1.8):
-T- Sp (Ytl; vyS vgx(a); р.
4
(3.7.18)
(3.7.19)
М“х = — 8- Sp [2yv/pv (gtrgoa — g^gax) —
gt'g^iytU + Yt»/p® + Ya/pn)].
(3.7.20)
Канонический квазитензор запишется в виде
- 4- &а (Y“; nYv; v - Y*1; vYv; iOI = [Ф (e) ““ + Г> (є) O**?
?а(є) Ф* .. ] g® (є), 3 ^paLtetr*
(3.7.21)
Mo
(3.7.22)
x
и
(3.7.23)
^ ____________________________________
M1T= -TT (g»og^ — Є|*сге*0){у — g(gxv‘gx — ga'1gl )]|Р;
(3.7.24)
96
- - ^Acov A r I Г ^A-COV .
^ +Imp7 +
+ e»«e J +
mU Щ, V
+e^e* - - T Єт- °(er- *">¦ (3-7-25)
0T 0Є
Недостатки псевдотензора Эйнштейна (3.7.17), обсуждающиеся їв следующем параграфе, могут быть устранены в двуметрическом формализме при введении тензорного продолжения этого псевдотензора:
tax = ^iivla _ Л?ат. (3.7.26)
Og[i\\X
однако для этого не требуется такого избытка дополнительных членов, который присутствует в (3.7.25). В частности, излишни члены, стоящие там под знаком дивергенции. Чтобы избавиться от них, можно выбрать равные пути, и один из них — введение нового лагранжиана (3.1.9) (детали см. в § 8.5), для которого [ср. с (2.5.14) — (2.5.16) ]
Hxpva = - - g^gxa — ^TafV), (3.7.27)
¦иг ат ат , 0 арт v av0 т /0_пЛх
Mcr — Ша “Ь 2nv "УЭ<у — BLor YvPj (3.7.28)
тт „ „ , ат V . ат0 V
Uaa = Uoa + mv YaT + Ilv Ут&, а, (3.7.29)
где может быть полезно ввести соотношения
. ар Pa 2 v0a Pvav /п .
h% = Шя, 4""g”(n^ —пя, ) Jv (3.7.30)
(аналог данного в примечании к стр. 95),
С = ---= [(- g) - g**fTx)h (3.7.31)
2 кі-g
Гто же самое, но приведенное к виду, аналогичному (3.7.15)] и
UtlV =-0/= Cu- (3.7.32)’
Существует и другой подход, о котором мы будем говорить позднее и который тесно связан с обобщением понятия ортогональных линейных преобразований координат на общековариантную теорию.
Упомянем симметричный псевдотензор Ландау — Лифшица и Фока, не следующий непосредственно из теоремы Нётер и полученный этими авторами из требования выполнения сильного закона сохранения:
[(_g)(raP + iaP)b = 0. (3.7.33)
Это достигается простым выбором суперпотенциала
UaPV = 8) - gayg^ * (3.7.34)
просто связанного с суперпотенциалом (3.7.15):
h? = JLx- и«". (3.7.35)
1-8
7 Н. В. Мицкевич 97
Qpn этом выполнение закона сохранения (3.7.33) обеспечивается ввиду равенства
(—g) (Та$ + = v. (3.7.36)
Обсуждение приведенной конструкции с точки зрения ее плотностного веса мы перенесем в следующий параграф, отметив здесь лишь, что Голдберг дал общую формулу для конструирования симметричных псевдотен-зоров различных весов, тривиально обобщающую результат Фока и Ландау — Лифшица:
«Г =~^[(-8)А(^х-Sa^a) ],р. (3.7.37)
Гутман показал, что в двуметрическом формализме вес таких сохраняющихся величин может быть исправлен путем введения в них соответствующей степени от детерминанта второй метрики.
3.8. Проблема гравитационной энергии
При постановке проблемы гравитационной энергии сразу же обнаруживается критический пункт, когда ставится вопрос: не является ли гравитационное поле чисто геометрическим феноменом, т. е., говоря языком философии, не относится ли оно всецело к форме существования материи, а не к видам материи, как другие (физические) поля? При такой постановке вопроса очевидно резкое разделение физики и геометрии, хотя, конечно, в наши дни для всех привычно, что геометрия реального мира является разделом физики,, как это предсказывал еще Риман более столетия назад. Однако в философском плане действует разделение агентов реального мира на содержание (материю) и форму (геометрию), в которую это содержание заключено. И с точки зрения философии вполне естественно, когда обе стороны науки — о содержании в его конкретных качествах (о частицах, полях и веществе) и о форме (геометрия) в равной мере являются опытными, и решающее слово 6 них принадлежит эксперименту.
