Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
образом, показано, что величины t<ja, Mot и остаются прежними при любых алгебраических заменах потенциалов (в уравнения, связывающие Ab и аъ, не должны входить больше никакие функции координат). Следовательно, выбор системы потенциалов полей не играет роли при выводе выражений для сохраняющихся величин. Напротив, добавление или отбрасывание дивергенциального члена, хотя и не м:еняет уравнений поля и ва-риационпой производной в (3.7.3), соответствует не преобразованию, а переходу к новой форме лагранжиана, и поэтому приводит к изменению ве-
обсуждающегося ниже парадокса Бауэра вследствие нековариантного отбрасывания дивергенциального члена из плотности скалярной кривизны, (3.1.1) я (3.1.2). Конечно, следует заметить, что само выделение дивер-
(3.7.1)
(3.7.2)
(3.7.3)
личин t(:a, Uoa, МоТ и NJt3. Примером этого может служить появление
93
генциального члена существенным образом зависит от выбора потенциалов, хотя отнюдь не сводится к переходу от старых потенциалов к новым. Поэтому мы прежде всего будем анализировать динамические величины гравитационного поля, исходя из полного лагранжиана (3.1.1). Эти величины будут универсальными, а все прочие — следствия отбрасывания того или иного дивергенциального члена от этого исходного лагранжиана. Так, не отбрасывая дивергенциальный член в (3.1.1), мы пришли бы в матричном или тетрадном представлении к тем же величинам, что и в представлении гравитации с помощью обычного метрического тензора. Можно доказать и более сильное утверждение, а именно, что при переходе к новым потенциалам и не алгебраическим путем (включая также производило потенциалов по координатам), если в теорию непосредственно не вводятся новые функции координат, динамические величины полной системы полей не меняются. Так, можно рассматривать как формально не связанные на уровне лагранжиана потенциалы метрический тензор и символы Кри-стоффеля (учитывая специфику преобразования последних), и из лагранжиана (3.1.1) тогда будут следовать старые выводы. Следовательно, при базировании на каноническом квазитензоре физические соображения в принципе могут фиксировать форму лагранжиана, не допуская уже добавления к нему дивергенциальных членов.
Мы будем придерживаться следующей схемы изложения. Сначала приводится значение биспина (если он существует) (2.4.23), затем — плотности обобщенного спина (2.4.22) и некоторых других очевидных из соотношений Нётер вел;ичин. Спин как «суперпотенциал» удобен для выражения спиновой доли энергии (2.4.21) ввиду соотношения (2.4.26). Тензор T114 достаточно дать всего один раз ввиду его единственности; для гравитации это — просто левая часть уравнений Эйнштейна с соответствующим коэффициентом. Наконец, канонический квазитензор энергии-импульса определяется по формуле (2.4.55), хотя бывает удобно пользоваться и соотношением (2.4,54), что существенно для выражения полных величин. Дальнейшая часть этого параграфа будет просто перечислением форм сохраняющихся и вообще динамических величин гравитационного поля; их обсуждение можно найти в следующем параграфе.
Случай лагранжиана (3.1.1) —общий для всех способов выбора потенциала :
NtTp = JLll- (2^ga - g^ga - gaxga ), (3.7.4)
4х
М“ = JL-S (2r*V* - TatOgax- TlegMgo) (3.7.5)
Z%
и
Faax=-------^S[2g»*(Tl*gZ- TZsgI) + Tlag™ - Г“о>?™]. (3.7.6)
Zk
Спиновую долю энергии, ввиду сильного закона ее сохранения, всегда можно выразить как
тт a -.^acr а а а а ста /о т tv
Ut= Mt:, а = %т, а', %х = %х , (3.7.7)
где антисимметричный «суперпотенциал» имеет вид
х“°= (?™, * - 8ге, с) g^g™. (3.7.8)
Zk
94
Явно же спиновую долю энергии можно записать в виде
Ua — - g(de gaegax^ 08 -|- ГсоеГ^а, v Г(оєІ\а, А,) • (3.7.9)
Zk
Здесь же выпишем и универсальную для всех лагранжианов величину Tgafi= — (Д«р — -^-RgaV) =-4- g*\Rg?— {gaega% - g^g**) X
К Z ZiK
X (gka, сое “f“ g®e, ka 2Г0Є r^.v)], (3.7.10)
причем для лагранжиана (3.1.1.) канонический квазитензор равен 1
V — g
taa = — ¦ [Rgaa — (g^g* — g*g**) X
X (g<не, ка 4" ГюеГясг, V ГшсГга, А,)]. (3.7.11)
Случай нековариантного лагранжиана (3.1.3). Плотность спина
»С ---------^[ГOXgax + Гр\(?Р^а“ - grxpgax) +
+ TpVv^ ~ 2Г okgkx] (3.7.12)
в этом случае не антисимметрична по верхним индексам, хотя лагранжиан A и не включает вторых производных; все дело в том, что этот лагранжиан является лишь аффинной скалярной плотностью. При этом, однако, продолжает выполняться сильный закон сохранения (2.4.31), поэтому возможно введение антисимметричного суперпотенциала. Как заметил Мёллер, для этого можно добавить к плотности обобщенного спина (3.7.12)
айа ISao
дивергенцию антисимметричнои величины ах = —ах » получив
С = P, (3.7.13)
причем UTa не меняется ввиду его определения:
Uat = - МлГ, a = - /Г, а. (3.7.14)
Требуя далее, чтобы величина hx° была антисимметричной по верхним индексам, нетрудно получить 2
hT=---------^=K-*) (g^r™ - г®?*8)], <0. (3.7.15)
2 %1 — g
Канонический квазитензор, называемый в этом случае «псевдотензором Эйнштейна», конструируется тогда по обычному правилу:
