Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
{{к) из нашего класса. Для таких г|э интеграл
4>(к) = $р(к-д)\р(д)с1д (3.13)
в правой части (3.6) определяет убывающие и гёльде-ровские функции с показателями 9 — б' и р,— р', так как можно считать, что V(к — д) как функция д и к имеет показатели 9' и р', и 9 — 9', и р — р'. Уравнение для ф(/с) имеет вид
Ф(*)=[4^Ф(<?)^ (3-14)
и из него следует, что ф(д) на самом деле имеет показатели 94 и р4. При комплексных г отсюда следует, что
.*<*)-^ <ЗЛ5>
квадратично интегрируема, и таким образом г|)Ш является собственной функцией дискретного спектра. Таким образом, при комплексных г уравнение (3.6) не имеет нетривиальных решений.
Если г выходит на разрез, например, ъ = X + Ю, К > О, то функция я|)(/с) также остается квадратично интегрируемой. Действительно, из уравнения (3.14) и самосопряженности ядра и{к—~к') следует, что
74
ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
вагот примеры, эта точка может быть как особой, так и неособой, причем в первом случае она необязательно является точкой дискретного спектра оператора Ь. Чтобы не обсуждать возникающие при этом вопросы, мы будем считать при изложении основного материала, что уравнение не имеет решения при 2 = 0. Случай, когда точка ъ = 0 является особой, мы коротко обсудим в конце § 4.
Таким образом, однородное уравнение (3.14) не имеет нетривиальных решений ни при каких ъ из П0, за исключением точек дискретного спектра оператора Ь.
С другой стороны, дискретный спектр ог/ератора Ь хорошо изучен. Так, доказано, что если потенциал V (х) — довольно произвольная функция внутри шара конечного радиуса, а вне этого шара
Ых)\+ ы)-е (зле)
при е > 0, то положительный дискретный спектр оператора Ь отсутствует. Существуют также признаки конечности отрицательного спектра. Например, доказано, что если в условии (3.16) е > 2, то неположительный спектр оператора Ь состоит из конечного числа собственных значений конечной кратности.
Мы будем считать, что эти условия на потенциалы выполнены, так что дискретный спектр Ь является отрицательным и конечным. Соответствующие собственные функции фгШ представляются в виде (3.15), где = = Х|, I = 1, 2,
. Итак, мы моячем использовать изложенный формализм для исследования уравнения (3.4). Остается убедиться в том, что свободный член в этом уравнении лежит в введенном классе гёльдеровских и убывающих функций. Последнее следует из оценок для и(к), однако параметр к' делает соответствующие оценки неравномерными. Эту трудность легко поправить — достаточно вычесть из решения t{k, к', ъ) несколько первых итераций:
*(п) (к, к',ъ)~
= (- 1Г \ dk.dk,... л ^|^) _ „ {кл _ п
Обобщая лемму о сингулярных интегралах, можно доказать для этих итераций оценку
1 *(п* (кг к\ г) | < С (1 + | к |)91 (1 + | к' \)\ 6А + 02< 1 + в,
§ 1. Г-МАТРИЦА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ЧАСТИЦ 75
при достаточно больших п. Для разности
7(n) (ft, k',z) = t (ft, ft', z) - 2 t(i) (ft, ft', z)
1=1
справедливо тогда уравнение
J(n)(k, к', z) = t(n+1)(k, к', z) - \vJ^ZU~t^{q, k', z),
J q — z
(3.17)
где оценки для свободного члена уже равномерны относительно ft' И Z.
Таким образом, к уравнению (3.4) применима альтернатива Фредгольма. Поэтому, зная положение особых точек, мы можем охарактеризовать свойства ядра Г-матри-цы. Справедливо следующее утверждение.
Ядро t(k, ft', z) является убывающей гёлъдеровспой функцией ft, ft' и z при всех z на комплексной плоскости с разрезом П0, за исключением особых точек — х? (i = 1, 2,. ...,4/), которые являются точками дискретного спектра оператора h. В окрестности особых точек имеет место представление ¦
t (k, ft', z) = 2 ^{к)\(к) + ?(к, ft', z), (3.18)
где ?(ft, ft'', 2) — убывающая гёлъдеровская функция при изменении z вплоть до вещественной оси.
Функции ф,-(А) определяются равенством (3.13) или, с учетом уравнения Шредингера, ф| (ft) = (ft2 + х?) г|;. (ft), т. е. эти функции представляют собой форм-факторы для системы двух частиц.
Проверим представление (3.18). С этой целью запишем резольвенту Hz) в виде г (z) = 2 Рг о + г (%), где
г 1 г
Рг — проектор на соответствующее z= — х? собственное подпространство и Hz) — ограниченный в окрестностях z = — х?, i = 1, 2, . .., Z, оператор, аналитически зависящий от z. Соответственно,- для Г-матрицы Hz) получим следующее представление:
t(z) = 2(z + хО^с, + t>), (3.19)
i
где сг- = ургу, t(z) = v — vr(z)v.
76 ГЛ. III. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Оператор рг является интегральным оператором с ядром 1|>4 (к) г|^(/с). Поэтому, в силу (3.13), ядро оператора с» имеет вид произведения
сЛК к') = <р.(кУ<р*(к'),
так что (3.18) справедливо.
Наконец, мы должны показать, что ядра Кк, к', z) являются убывающими гёльдеровскими функциями. Для этого мы воспользуемся следующими соображениями. Заметим, что в силу тождества Гильберта
т{zi) — г(^2) = (?4 — z1h{zi)v(z7) оператор 1^) подчиняется тождеству
1^) — t(z2) = (га — Z^)t(zi)To(z1)Yo(z2)t(z2). (3.20)
Последнее мы будем называть тождеством Гильберта для Т-матрицы. Из этого тождества следует, в частности, что оператор 1^) является аналитической функцией z всюду на плоскости с разрезом П0, кроме особых точек х?, причем
