Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
6.4, с. 169).
Теорема 8. Если линейная система не содержит потенциальных сил, то:
1) при нечетном числе координат асимптотическую устойчивость нельзя
осуществить никакими гироскопическими, диссипативными и ускоряющими
силами',
2) при четном числе координат для осуществления асимптотической
устойчивости необходимо, помимо диссипативных сил, присоединить
гироскопические силы [38].
Доказательство. Если отсутствуют потенциальные силы и число координат
нечетное, то|С + .Р|=|7,| = 0 (как кососимметричный определитель
нечетного порядка). В этом случае, согласно (6.128), свободный член a2s
характеристического уравнения (6.127) равен нулю, что
202
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
служит признаком отсутствия асимптотической устойчивости (имеется нулевой
корень).
Для доказательства второй части теоремы заметим, что присоединение
диссипативных сил необходимо по теореме 6. Если же отсутствуют
гироскопические силы, то система неустойчива (теорема 2).
Теорема 9. Если потенциальная энергия системы имеет максимум, то:
1) при нечетном числе, координат и любых нелинейных членах систему нельзя
стабилизировать никакими гироскопическими, неконсервативно позиционными,
ускоряющими и диссипативными силами',
2) при четном числе координат и при условии, что на систему действуют
силы сопротивления с полной диссипацией, для стабилизации системы
необходимо одновременно присоединить гироскопические и неконсервативно
позиционные силы (вне зависимости от нелинейных членов) [38].
Доказательство. Рассмотрим уравнение возмущенного движения в форме
(6.45). Составим для него характеристическое уравнение
А = det {EX2 + ВХ + GX + С0 + Р) = 0.
Свободный член этого уравнения равен a2s = det (С" + Р)-
При максимуме потенциальной энергии все элементы C|f, стоящие на главной
диагонали матрицы С0, будут отрицательны. На основании соотношения (6.89)
определитель | С0 + Р | при нечетном числе координат отрицателен при
любой кососимметрической матрице Р. Следовательно, свободный член
характеристического уравнения при нечетном числе координат отрицателен, и
система на основании теоремы 7 неустойчива.
Рассмотрим теперь случай четного числа координат. Если отсутствуют
неконсервативные позиционные силы, то система будет неустойчива на
основании четвертой теоремы Томсона - Тета - Четаева § 6.5. Если же
отсутствуют гироскопические силы, то неустойчивость системы следует из
теоремы 4 этого параграфа. Таким образом, для стабилизации системы с
четным числом координат необходимо присоединить одновременно
гироскопические и неконсервативно позиционные силы. Теорема доказана
полностью.
Проиллюстрируем доказанные теоремы сначала формальными примерами.
§ 6.9. СИСТЕМЫ С НЕКОНСЕРВАТИВНЫМИ СИЛАМИ
203
Пример 1. Система
*1 + Vl + еЛ + ?2*3 + PlX2 + Р2Х3 - С1Х1 - Х1,
Х2 4" ^2*2 ёА 4" ?з"з - РЛ 4" Рзх3 С2Х2 = ^2>
х3 4* b3i3 - ё2х1 ёзх2 Р2Х1 ' РЗХ2 С3Ж3 ^3
при Cfc > 0 неустойчива при любых gк, Рк. Ьк > 0 и Хк (так как
потенциальная энергия П = -1/2 (с Iх* + с2х\ + с3ж|) имеет в положении
равновесия qx = g2 = ?з = 0 максимум и число координат нечетное - теорема
9).
Пример 2. Систему
i. + V,-'(tm)-", №,>". ">0)
з-2 + 02г2 - c2z2 = О
можно стабилизировать только в том случае, если подходящим образом
присоединить одновременно гироскопические и неконсервативно позиционные
силы (так как потенциальная энергия П = = -1/2 (ере* + с2ж2) имеет в
положении равновесия максимум, диссипация полная и число координат четное
- теорема 9).
Пример 3. Система
?i + </i + (1 + ?т 4~ ?2) = 0,
?2 4" ?2 - (1 4" 4" ?2) = 0
неустойчива, так как на нее действуют линейные силы сопротивления и
неконсервативно позиционные (нелинейные) силы Рг = = -(1 4- q\ 4- g2)
gig(r) и Р2 = (1 + g* + g*) g*g2 - теорема 2. Пример 4. Система
911
gi 4~ 572 -(- Г4 -|- f*! -f- = Q± ,
Ч2 4- 5)i - 4 )2 -|- Га + P2 4- i)qt -
неустойчива при любых гироскопических Гк, неконсервативных позиционных
Рх, потенциальных и нелинейных силах Q\p, так как след матрицы В
отрицателен (Sp В = 2 - 4 = -2) и, следовательно, ускоряющие силы
доминируют над диссипативными - теорема 5.
§ 6.9. Примеры исследования устойчивости движения систем с
неконсервативными сдлами
Интересные и очень важные для техники задачи на исследование устойчивости
систем с неконсервативными позиционными силами возникли в теории
упругости. Здесь можно выделить три группы таких задач. Первая связана с
упругими системами, подверженными действию так называемых следящих сил,
т. е. сил, линия дей-
204
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
ствия которых совпадает с касательной к упругой оси стержня (см. пример
1). Такие силы могут возникнуть, в частности, при отделении продуктов
сгорания реактивной установки. Е. JI. Николаи [41] в 1928 г., по-
видимому, первый начал исследование таких систем. Вторая группа имеет
дело с устойчивостью вращающихся валов, а третья - с устойчивостью
упругих тел, движущихся в сопротивляющейся среде '). Пример 2 дает
некоторое представление об этих задачах.
