Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
отклонения (вариации) Xj.
г) Устойчивость движения при постоянно действующих возмущениях излагается
в книгах И. Г. Малкина [37], Н. Н. Красовского [27], Е. А. Барбашина [5]
и др. В книгах Е. А. Барбашина [5, 6] и книге Н. Н. Красовского [27]
рассматривается устойчивость в целом (см. § 2.3). Устойчивость движения
на конечном интервале времени и конечных начальных возмущениях излагается
в книгах
Н. Г. Четаева [49] и К. А. Карачарова, А. Г. Пилютика [25]; задача об
устойчивости движения со случайными параметрами рассматривается в работе
И. Я. Каца, Н. Н. Красовского [26] и др. Устойчивость систем с
последействием (с запаздыванием времени) излагается в книге Н. Н.
Красовского [27]. Подробные обзоры работ по исследованию устойчивости
методом построения функций Ляпунова, устойчивости негол он омных систем и
устойчивости на конечном интервале даны в [2а, 46а, 1а] соответственно.
§ 1.2. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 19
Для вывода уравнений возмущенного движения найдем из равенства (1.5)
переменные ijj (t):
yj (0 = fj (0 + xj (t).
Внесем эти значения для ;/7- (<) в дифференциальные уравнения движения
системы (1.1). Получим
df. dx-
.-L _i___I
dt ' dt
- ' ~ 1 Y j (fi -p x\,..., f n + xn, t).
Разложим правые части этих уравнений в ряды Тейлора по. степеням Xj\ г)
df- dx-
' j I 5_ =
dt dt
= Y}(fi,...,fn, 0+ + +
где Xj - совокупность членов, зависящих от отклонений Х{ в степени выше
первой.
Учтем теперь, что в невозмущенном движении функции fj (t) должны
удовлетворять уравнениям движения (1.1), т. е.
dfj ~ Yj(h, t) (/ - 1, ..., п).
dt
На этом основании будем иметь
^ dj%xx -f- ... -р djnxn -j- Xj (/ 1, ..., л). (1.12)
В этих уравнениях коэффициенты
<1ЛЗ)
' ихЧ ¦ х=о
в общем случае являются функциями времени t, в частности, они могут быть
постоянными.
Уравнения (1.12) называются дифференциальными уравнениями возмущенного
движения. Если в этих уравнениях отбросить члены X*, то полученные при
этом уравнения
-Ц- =-= анхг 4- <ij2x2 .. + ah,xn (/=!,..., п) (1.14)
называются уравнениями первого приближения.
4 Здесь н в дальнейшем предполагается, что функции, разлагаемые в ряды,
удовлетворяют соответствующим требованиям.
20 гл. I, ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Уравнения первого приближения во многих случаях дают верный ответ на
вопрос об устойчивости движения, но очень часто заключение, которое можно
получить из этих приближенных уравнений, ничего общего не имеет с
решением исходных уравнений.
Приведем пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид (а =
const)
dx-% , -%Г 2 t 2
-i = - cw'2 -f- a^i V xZ + dt
(1J5)
<^- = axx + У + ^2 •
Умножим первое уравнение на хг, второе на хг и сложим почленно оба
уравнения:
dxx , dx2 , 2 I 2 \3/2
2 Ил _ ( 1 + г)
или
i. + аф = а(х\ + х\) 3/*.
Положим х\ + х; = г2, где г - расстояние от начала координат до
изображающей точки. После перехода к новой переменной г будем иметь
1 Й!Г2 о
= а г*
2 dt
или
dr 9 - = а г2. dt
Это уравнение легко интегрируется, и его общее решение имеет
вид
г -------------------- ,
1 - ar" (t - ta)
где г0 - значение г при t = t0.
Из этого решения видно, что при a > 0 расстояние г от изображающей точки
М до начала координат неограниченно возрастает
при t -"t0 -f- - , т. е. движение неустойчиво. (Заметим, что lim г2 =
СОТ о /-*оо
= 0, т. е. условие (1.11) выполнено, хотя движение неустойчиво.) Если же
a < 0, то г монотонно убывает, стремясь к нулю при t -> -" оо, т. е.
движение асимптотически устойчиво.
Рассмотрим теперь уравнения первого приближения
dxt dxо
-t - - ах2, -; - a.Tj,
dt dt
которые получаются из уравнений (1.15) отбрасыванием членов порядка выше
первого.
§ 1.2. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 21
Для этих уравнений вместо равенства г = а г- будем иметь
dt
или, интегрируя, г г0.
Это решение показывает, что изображающая точка М, отвечающая уравнениям
первого приближения, движется по окружности, радиус которой равен
начальному отклонению точки М от начала координат. Таким образом, из
уравнении первого приближения следует устойчивость невозмущенного
движения хг = х.2 = Опри всех а. Этот вывод ничего общего не имеет с
результатом анализа исходных уравнений (1.15), согласно которому при а >
0 движение неустойчиво, а при а <; 0 асимптотически устойчиво.
Вернемся к уравнениям возмущенного движения
(1.12). Обозначив все члены, стоящие в правых частях этих уравнений,
символами Xj, получим для неавтономных уравнений возмущенного движения
dx •
-±=^Х;(ху,...,хп,Г) (/ = 1,--., /г). (1.16)
Если уравнения возмущенного движения автономны, т. е. не содержат время t
явно, то будем иметь
(1.17)
В дальнейшем совокупность уравнений возмущенного движения мы будем
называть часто просто системой. Таким образом, уравнения (1.16)
определяют неавтономную, а уравнения (1.17) автономную системы (уравнений
возмущенного движения).
Форма дифференциальных уравнений возмущенного движения (1.16) или (1.17)
называется нормальной, а движения, определяемые этими уравнениями,
