Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
замедлять движение, если же Ьк ¦< 0, то эта составляющая будет ускорять
движение. Будем говорить, что диссипативные силы доминируют над
ускоряющими, если сумма элементов bk матрицы В0 положительна; если же •<
0, то ускоряющие силы доминируют над диссипативными. При отсутствии
ускоряющих сил среди элементов матрицы В0 нет отрицательных (но могут
быть элементы, равные нулю), а при полной диссипации все элементы Ък
положительны.
Так как след матрицы и ее определитель являются инвариантами при
ортогональном преобразовании, то будем иметь следующие тождества:
Sp Во = s h = S Ьп = Sp В = Sp Ви (6.48)
fc-1 "-1
сг . . . cs - det С, det (С + Р) = det Сх. (6.49)
Из первого тождества следует, что вопрос о доминировании диссипативных и
ускоряющих сил решается исходной системой (6.42).
Кроме системы (6.43), содержащей линейные члены, будем рассматривать
частично линеаризованные системы, когда некоторые силы могут не содержать
линейных членов. Дифференциальное уравнение таких систем запишем в
следующем виде:
(Aq) = - grad П - Bq + Г (q, () + В (q). (6.50)
Здесь A (q) - определенно-положительная матрица, элементы которой зависят
от координат системы q, В -
168
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
постоянная симметричная матрица, а все остальные члены, стоящие в правой
части уравнения, представляют соответственно произвольные потенциальные,
гироскопические и неконсервативные позиционные силы, удовлетворяющие
самым общим определениям.
§ 6.4. Коэффициенты устойчивости
Пусть на систему действуют только потенциальные силы, содержащие линейную
часть, а все остальные силы отсутствуют (D = Г = R = 0). Тогда, пользуясь
уравнением (6.45), получим
? -J- Cq? = Z.
Это векторно-матричное уравнение эквивалентно s скалярным уравнениям
(напомним, что С0 - диагональная матрица)
z\ -)- = Z 1?
............................... (6.51)
2-s "Ь cszs Z3,
где функции Zk содержат координаты z7 и скорости z7- в степени выше
первой.
Линейная часть каждого уравнения (6.51) содержит только одну координату
(такие координаты называются нормальными). Характеристические числа к-то
уравнения этой системы равны ± \f - ск. Отсюда следует, что если какое-
нибудь число ск положительно, то при отсутствии соответствующего
нелинейного члена Z]t движение в нормальной координате zh- будет
устойчиво. Если же какое-нибудь число ск < 0, то движение в этой
нормальной координате неустойчиво независимо от членов высшего порядка
(так как из двух характеристических чисел + У - ск одно будет
положительно - см. теорему Ляпунова о неустойчивости движения по
уравнениям первого приближения § 4.3). В связи с этим числа ск называются
коэффициентами устойчивости системы, а число отрицательных чисел ск -
степенью неустойчивости (эти определения принадлежат Пуанкаре). В
дальнейшем будет иметь значение не число неустойчивых коэффициентов ск, а
его четность. Пользуясь первым равенством (6.49)
сг . . . с3 = det С,
§ 6.4. КОЭФФИЦИЕНТЫ УСТОЙЧИВОСТИ
169
можно определить четность степени неустойчивости системы, не прибегая к
непосредственному переходу к нормальным координатам (такой переход
представляет большой интерес в теоретических исследованиях, но
осуществить его не менее сложно, чем решить исходную систему).
Действительно, если число отрицательных коэффициентов, ск четное, то
произведение Ci ... cs положительно (предполагается, что среди
коэффициентов устойчивости нет нулевых). Но тогда из последнего равенства
следует, что det С > 0; если же число отрицательных ск нечетное, то
произведение с± . . . са отрицательно и, следовательно, det С < 0;
обратные утверждения, очевидно, тоже справедливы. Таким образом, имеем
простое правило; если определитель матрицы С потенциальных сил исходных
уравнений возмущенного движения положителен, то степень неустойчивости
системы четная, если же det С < 0, то степень неустойчивости системы
нечетная.
Для иллюстрации этого правила рассмотрим два простых примера.
1. Уравнения возмущенного движения имеют вид
<?i + ?2 ~Ь 5<д + 2q2 - 0,
9i + 3^2 + - q2 = 0.
Система потенщгальпая, так как матрица коэффициентов сил, линейно
зависящих от координат, симметричная:
Ml5 2|.
II2 -1 I
Определитель этой матрицы det С = -9 отрицателен. Поэтому, не приводя
уравнения к нормальным координатам, можно утверждать, что система имеет
нечетную степень неустойчивости. Так как число координат равно двум, то
имеются одпа неустойчивая и одна устойчивая координаты.
2. Уравнения возмущенного движения имеют вид
9i + ?i + 2?3 = 0, q2 3<72 -f- q3 = 0, qa -f- 2qt -f- q2 - q3 = 0.
Матрица коэффициентов сил, линейно зависящих от координат,
1 0 2
С = 0 -3 1
2 1 -1
симметрична. Поэтому система потенциальна. Определитель ц^т-рицы del С -=
14 положителен. Не приводя уравнения к нормальным координатам, можно
утверждать, что если система имеет неустойчивые координаты, то число их
четное. Легко установить, что неустойчивые координаты имеются и число их
равно двум. Действительно, составим главные диагональные миноры матрицы
