Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Ui етг = (л;-и —ср)/(1 —U2Ic1)112 = — ср°, (4.224)
где ф0Ic — немеханическая энергия на единицу объема, измеренная в мгновенной системе покоя 5°.
Поскольку — объем частицы, a dx — дифференциал времени в системе S0, уравнение (4.208) в этой системе имеет вид
(1/SP) dWVdx = OuflIdx0ll = dUUdxl = OUJdxk. (4.225)
Здесь использовано выражение (4.39) для 4-скорости с учетом того, что дивергенция — инвариант, а компоненты и? трехмерной скорости U0 в системе S0 равны нулю. В соответствии с (4.225) левую часть в (4.222) можно преобразовать к виду
6Va d (p,0 Ui)/dr + [л° Ui ddV°/dx = 6Р 0 (jx° Ui Uh)/Oxh.
Таким образом, в общем случае имеем следующее фундаментальное уравнение механики для некогерентной материи:
5 (}і0 Ui Uk) Ox* = fi + я, = ft, (4.226)
где по аналогии с (4.68) введена плотность обобщенной 4-силы /*:
П = їі + *і, (4.227)
которая в соответствии с (4.220) и (4.224) удовлетворяет соотношению
UJt = - ф°. (4.228)
Уравнение (4.226) можно записать в другой форме, а именно:
UiO(H0Uk)/Oxh -f- ц° dU-Jdx = f*. (4.229)
Умножив (4.225) на U1, с учетом (4.41), (4.4Г), (4.228), получим
0 (H0Uk)ZOxk = ф°/с2 (4.230)
или в соответствии с (4.213) и (4.214)
д[л0/с# + с1іуц0и = ф0/с2. (4.231)
Эти уравнения являются обобщениями уравнения неразрывности (4.211) или (4.215), когда в системе существуют источники собственной массы. Выражение ф°/с2 для плбтности источника соответствует общей формуле Эйнштейна (3.74). Подставляя (4.230) в (4.229), получаем обобщение уравнения (4.219)
H0JUiZdx = Jl, (4.232)
где
dt - Я-(Ф V) Ui = ft+ (ft UhZc2) Ui = J1 /у, 1 зз
ri = ni-\-(nh UJc2) Ui = Л;—(((0Ic2) Ui, J
т. е. JiMri- трансверсальные составляющие 4-векторов /* и Ki соответственно. Полная плотность Оействующей 4-силы d-L есть сумма плотности внешней механической 4 силы /* и реактивной 4-силы rt.
Если известна только /*, то в общем случае ее невозможно однозначно разделить на механическую часть ft и немеханическую часть Jii. С помощью (4.228) и (4.223) можно вычислить лишь полную действующую силу Ji = ft + rt и ф°, т. е. четвертую компоненту Jli в системе покоя. Однако если мы имеем дополни-
105
тельную информацию, что я0 равен нулю, то это разделение однозначно, так как в этом случае
JTi- = ^i CptVc2; я = YufPcVc2; ф = уф°; ^ = O; h = di = fi-IZ1 = п-U1 ф°/с2 = /? + (ft Uk/C2) Uh причем пространственные компоненты И fi в системе покоя имеют вид
f*0 = f0. (б)
В любой другой системе плотность обобщенной силы f* и ее мощность Pu существенно отличны от f Hf-U, так как
f* = f -f- фи/с2; f:* • u = f • и + фи2/с*. (в'
§ 4.19. Тензор кинетической энергии
Величина, стоящая в левой части (4.226)
Qtb = V-9UtU*, (4.234)
является симметрическим тензором второго ранга и называется тензором кинетической энергии [160]. Следовательно, уравнение (4.226) можно представить в виде
OQikIdxk = ft = f ^ni, (4.235)
т. е. плотность обобщенной 4-силы равна дивергенции тензора кинетической
энергии. С помощью (4.39), (4.202) и (4.203) получим следующие выражения
для компонент этого тензора;
B44= — JJt0 с2/( I — U2Ict) = —H0C2/]/ I-UiIci= —[хс2= —h, (4.236)
где h — плотность энергии или, точнее, сумма кинетической энергии и собственной энергии на единицу объема. Умножая (4.236) на 6V, в правой части с точностью до знака получаем энергию малой материальной частицы внутри объема 6V.
Три компоненты 04(1, являющиеся компонентами пространственного вектора, имеют вид
(0л. 042, M = - Tj^ U = -[IC2U=-/ш. (4.237)
С 1—U-Ic1 с в
Аналогично три компоненты Oix4 можно представить в форме
(014, 024, Э34) = Іф0 UlY I — U2Ic2 = і eg. (4.238)
Учитывая уравнение (4.235) [см, далее (4.242) и (4.244)], величины
(c/i)04|t = Ли И QllJlC = g
следует интерпретировать как плотность потока энергии и плотность импульса соответственно. Из симметрии Qih имеем равенство
g = ЬЩс\ (4.239)
которое выражает тот факт, что энергия h соответствует массе /г/с2. Пространственную часть Otiv тензора энергии можно записать в виде
0UV = [A0 Иц UyfY1—¦M2C2 = ^u Wv, (4.240)
где gf,, и Uv — компоненты пространственных векторов gnu.
Величины (4.237) представляют собой плотность потока энергии, поэтому каждый столбец матрицы — компонент пространственного тензора Bttv в (4.240), т. е.
(Оці» Ор.2» Оцз) — ut (4.241)
106
можно интерпретировать как плотность потока компонент импульса Поэтому Gltv называется также тензором потока импульса. Четвертое уравнение в (4.235), выражающее закон сохранения энергии, теперь с помощью (4.236), (4.237) и (4,217), (4.221) можно представить в форме
OhjOtjr div (/zu) = eft!і (f -u) + <p (4.242)
или
d\i/0t + div (fiu) = [(f-u) + ф ]/e2. (4.243)
Это уравнение совершенно аналогично (4.231).
Плотность источника собственной массы равна q>0Ic21 поэтому плотность источника релятивистской массы равна [(f-u) + <р]/с2 и также соответствует формуле Эйнштейна (3.74).
Тем же способом первые три уравнения в (4.235), выражающие закон сохранения импульса, запишем в виде
