Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Vt = (vv> ?ic); (у = (1 -V2Ic2)-1!2).
Его компоненты в системе S' следующие:
Vl= (0, 0, 0, ic),
поскольку Vi — 4-скорость точки, покоящейся в S', а это значит, что вектор
Vi направлен вдоль оси х\. Тогда из формулы преобразования 4-вектора по-
лучим
Vk = Vl CCift = Icaih, (4.127)
Аналогично, если е*п, е\г\ е]3} — единичные направляющие векторы осей х\, X2, Xz соответственно, то
4^ = 6ац; CkK) = а1к = Sm QClift
и
гДЮ ^v) _ JM.)' (V)' _ Я Я .
W ЄI ---- &k &t ----- OiJi 0;v - 6jj,V)
е{Ґ Vl = C^yVl = O. (4.127')
Для преобразований Лоренца без вращений коэффициенты aih в соответствии с (2.27) имеют вид
I+ (VllVz) (у— I), (VxVylVi) (у— I), (VxVjV2) (у— I) IV1Ic
(Vy VjV2) (у— I), I +(vllv2) (у— I), (vn VjV2) (у — I), lVJe (vzvxlv2)(y— I), (VzVjV2) (у—I), \ + (vllv2)(y—\),Wjc -WJc, —і VJe, —WJe,—WJe
(4.128)
92
В (3-f 1)-пространстве преобразование (4.128) представляет собой поворот в двухмерной плоскости, определяемой временными осями Sr и S.
Если Vx, vy, vz — бесконечно малые величины, то с точностью до малых второго порядка
V1 = Vx; V2 = Vg; V3 = vz; Vi = Icy
а (4.328) сводится к
= + Sjxv = O, еЦ4= — e4№ = iVyc; е44 = 0. (4.129)
§ 4.14. Последовательные преобразования Лоренца
Пусть
х'і=аікхк> S —S' и х\ = a.'tk jc*; (4.130)
два последовательных преобразования Лоренца. Результирующее преобразование
ХЇ = (а'и aclh) Xk (4.131)
также есть преобразование Лоренца. Поэтому коэффициенты
&ik = &i I k
удовлетворяют тем же условиям ортогональности (4.11), (4.14), что и коэффициенты ctifc, QLrik. Однако (4.131), в общем случае, уже не является преобразованием Лоренца без вращения даже в случае преобразований (4.130), т. е. ct"ik не выражаются в виде (4.128), даже если aik, a'ik и имеют такой вид. Коэффициенты a“k можно выразить в виде (4.128), только если три временные оси систем S, S', Su лежат в одной плоскости.
В частном случае бесконечно малого преобразования Лоренца без вращения от Sr к S" в соответствии с (4.129) имеем
^ik — “Ь ?/*; = 0; Eji4- Stfi= iVц!с; Б44~0, (4.132)
где Vi — 4-скорость S" относительно 5Следовательно,
&ik = Фц + 6/ I) Ocife = OLik + Є; ( alk. (4.133)
Пусть Xi = fi (т) — мировая линия произвольного движения частицы в S, а т — собственное время частицы. Попытаемся определить последовательные системы покоя частицы таким образом, чтобы две следующие друг за другом системы покоя в любое время имели одинаковую ориентацию пространственных осей. Пусть Sr и S" в (4.13) — две мгновенные системы покоя частицы в моменты времени т и т + dx, соответственно. Тогда 4-скорость системы Sr относительно S равна
Ut(x) = dxtIdx = fi(x). (4.134)
Аналогично 4-скорость S" относительно 5 равна
Vi = Ui(x)-{-dUi(x) = Ui(x) + Uidx=:fi(x)-!r Mt) dt. (4.135) Компоненты этих двух 4-векторов в системе S' следующие:
Ui (X) = UihUh = (0, 0, 0, \с); (4.136)
Vl = Ul 4- dUl = OLih (Uk + dUh) = Ui + aift dUk. (4.137)
Поскольку предполагается, что переход от системы S' к системе S" осуществляется бесконечно малыми преобразованиями Лоренца без вращения, то коэффициенты alk преобразования от системы 5 к системе S" получаются из (4.133) и (4.132), причем V^ в (4.132) определяется выражением (4.137). Поэтому
Vi Uk-VkUi UkdUi-UidUk /л 100Ч
Etk= --------;-----=-------------------» (4.138)
С- Є-
что с учетом (4.136) совпадает с є/* в (4.132).
93
Таким образом, из (4.133), (4.138) и (4.137) имеем aik-aih = (Ui dUl—Ul dUi)alhlc* = Wc^ail [UkJUl-VlAU1,).
Коэффициенты oc!k можно рассматривать как функции Uik (т) от т; тогда =
— aik (т + dr). Поэтому из последнего выражения получаем следующие дифференциальные уравнения для функций aih (т):
daik (T)Idx = ап Ilk, (4.139)
где
Iih = [(JiUk-UkUi)Ic2. (4.140)
Для дальнейшего заметим, что с учетом (4.14), (4.41), (4.4Г) и (4.13) коэффициенты аи |г/1 удовлетворяют соотношениям
CtVt «яг =Svx; OviUi = 0;
аА.гocVi= 0; ctVi^iiUi = —оcV; С/?; (4.141)
aVi hi ot^m. Ьтпі = (aVZ ^г) (аА-пг Uт)/^2-
Уравнения (4.139) определяют переход от фиксированной системы S к мгновенной системе покоя S' = Sf (т) с системой координат х[. Следовательно,
Xi = Xuaki(X) (4.142)
или, осуществив такое непрерывное смещение начала координат в S', чтобы частица всегда находилась в начале координат системы покоя S' (т), имеем
-Vi=Zi(T)+X* окг(т). (4.143)
Теперь присоединим к рассматриваемой частице пространственный единичный вектор е' (х), такой, чтобы его компоненты относительно пространственных осей S' (т) не изменялись во времени, например любой направляющий вектор пространственных осей в S'. Следовательно, смещение вектора е' происхо-
дит без изменения его ориентации. В (3 + 1)-пространствеэтот вектор является пространственноподобным вектором с компонентами
е/ = (е', 0) (4.144)
¦в системе 5'. Его компоненты в системе S следующие:
е* (т) = (т) = ^oju(T). (4.145)
Учитывая (4.136) и (4.144), имеем
eiUi=e‘Ut= О, (4.146)
т. е. et ортогонален Ui. Из (4.145), (4.139), (4.140) и (4.146) получаем
