Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим движение материальной частицы и соответствующую ей мировую линию (4.8) в (3+ 1)-пространстве. Воспользуемся параметрическим представлением мировой линии
Xi=Xi(S)t і= 1,2,3,4, (4.31)
где в качестве параметра s выбрана длина мировой линии. Две близкие точки на этой кривой соединяются инфинитезимальным вектором (Clxi) длиной ds, определяемой формулами (4.22) или (4.26). Поскольку скорость частицы всегда меньше с, то, в соответствии с (4.26), на всей мировой линии ds2 < 0. Поэтому
77
удобно вместо мнимой длины s выбрать новый, уже вещественный параметр т по формуле
s = і ст. (4.32}
Подставляя (4.32) в (4.26), имеем
—с2с1т2 = do2 — c2dt2. (4.33)
Учитывая, что скорость и частицы равна doldt, получим, что
dx — (I — U2Ic2)1/2 dt. (4.34}
Таким образом, т совпадает с собственным временем частицы, т. е. со временем, измеряемым стандартными часами, движущимися вместе с частицей.
Собственное время частицы является мерой длины ее мировой линии.
Мировая линия, соответствующая равномерному движению, представляется прямой линией, например линией N1 на рис. 12, связывающей два события А и В. Длина ее определяется из выражения
Sjic = X1 = (tB—ід) (I— U2Jc2)1!2, (4.35}
где U1 — скорость равномерного движения, a (tB — ід) — разница во времен» между двумя событиями А и В. Если взять другую произвольную мировую линию JV2, соединяющую эти же два события А и В, то она будет соответствовать уже неравномерному движению. Длина дуги этой кривой в соответствии с (4.34) следующая:
s2/i C = T2 = ^ (I—U2Ie2)1!2 dt. (4.36)
Nlt
Поскольку выражения (4.35) и (4.36) справедливы в любой системе координат,, то можно выбрать такую систему, временная ось которой параллельна прямой мировой линии N1. Это означает, что данная система движется вместе с частицей. В этой системе U1 = 0, однако скорость U1 неравномерного движения, соответствующего N2, не может равняться нулю на всей мировой линии.
Поэтому
s2l\ CCs1Ii с. (4.37)
Таким образом, прямолинейное движение характеризуется тем, что длина мировой линии имеет стационарное значение, точнее, наименьшее по сравнению со всеми другими мировыми линиями, соединяющими те же два события.
Поскольку инфинитезимальные приращения координат dxt на мировой линии частицы являются компонентами 4-вектора, a dx — инвариант, то величины
U t = dx-Jdx (4.38)
также являются компонентами 4-вектора, который называется 4-скоростыо. Используя (4.34) и (4.38), компоненты U1 запишем в виде
Ui = U2Ieyi2i IcI(I-U2Ic2)lI2), (4.39>
где
u = dx/dx (4.40)
есть обычный трехмерный вектор скорости. 4-Скорость всегда направлена по касательной к мировой линии частицы, а норма этого вектора имеет постоянное значение —с3, так как из (4.39) видно, что
2 U) = и21(1— U2Ic2) —сг1(1 — U2Ic2) = — с2. (4.41}
І
78
Следовательно, 4-скорость есть времен и подобный вектор постоянной длины. Дифференцируя (4.41), получаем, что
JlUidUiIdT = O. (4.41')
І
Применив уравнения (4.29) к 4-скорости Uif определяемой в (4.39), мы снова получим преобразования (2.55') для скоростей и преобразования, обратные (2.56).
4-Вектор
Ai = dUildx = Ui = H-U2Ic2)-'I2 dUJdt называется 4-ускорением. С помощью (4.39) найдем его компоненты:
A1= + (4.4?
(с2 —И2 (с2 —Ы2)2 (C2-U1)2)
где a = du/d/ = d2xldt2 есть обычное трехмерное ускорение частицы. В соответствии с (4.4Г) векторы Uj и Ai ортогональны. В системе покоя частицы S' вектор ускорения Ai имеет компоненты
Al = (а\ 0). (4.42')
Другим примером 4-вектора является вектор волнового числа ((Xi) плоской монохроматической волны. В произвольной системе координат S инвариантную фазу волны F в соответствии с (2.68) можно записать в виде
-F = JiGiXu Gi (nv/O), І vie) = (сг, (T4),
і
['or I — V Iw = ІД. (4.43)
Здесь n — единичный направляющий 3-вектор нормали к фронту волны; v — частота; w — фазовая скорость и 1K — длина волны. Поскольку фаза инвариантна, то в соответствии с (4.3) имеем
J Ok Ч = J1 о- Xt- = J Ot CCihXk,
k і I, k
а так как это уравнение должно выполняться для всех хй, то
Oh=-JiOiaik. (4.44)
І
Следовательно, Oi есть 4-вектор. Уравнения (4.44) или эквивалентные им уравнения (4.29) непосредственно приводят к формулам (2.70)—(2.72) преобразований параметров плоской волны.
В §2.10 было показано, что групповая скорость в преломляющей среде с показателем преломления п > 1 преобразуется в системе покоя среды подобно скорости частицы и', если u' =Wr= с/п. Поэтому аналогично (4.39) можно определить 4-вектор групповой скорости (Ui)
Ui = {ue/y^l—-U2Ic2; і ClV1 -U2Ic2] , (4.45)
где и — величина групповой скорости, а е — единичный направляющий 3-вектор луча.
В системе покоя среды S', где е' = п' и w' = и' = с/п, получим, что
, / V' п , . V' \ 7,* ( cji’ і СП } (Л Ла\
^ = W=Ti- (4-46)
В любой другой инерциальной системе S Uk = IjUiaih. Тогда из (4.46) следует, что
JotUi =JojUl = O, (4.47)
і і
79
т. е. 4-векторы Gt и Ui ортогональны друг другу. Подставляя (4.43) и (4.45) в в (4.47), получаем
