Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(4.4) отточки наблюдения (Xi) до начала координат (0, 0, 0, 0) были бы инвариантом при таких вращениях.
Вполне естественно, хотя X4 и *4 и не действительные числа, ввести четырехмерное пространство, точки которого определяются координатами (Xi). Поскольку любое событие в физическом пространстве в каждой системе пространственно-временных координат характеризуется некоторой совокупно-
рассматривать как однородные линейные преобразования
x'i= 2 aIkxk (1 = 1,2,3,4),
(4.3)
k=\
удовлетворяющие условию
(4.4)
aHv » а44—действительные числа, ар.4, GC4V—чисто мнимые числа,
(4.5)
71
етыо чисел (Xi), то такое событие изображается точкой в этом абстрактном четырехмерном пространстве. Это пространство, впервые введенное Пуанкаре [198] иМинковским [161], называется пространственно-временным континуумом или просто четырехмерпым пространством или (3+1)-пространством (последнее название напоминает, что четыре измерения пространства не полностью эквивалентны). Таким образом, однородные преобразования Лоренца (4.3) можно интерпретировать как вращение системы координат в (3+1)-пространстве. Инвариантную форму (4.4) естественно называть квадратом четырех мер но го расстояния между событием (Xi) и началом (0, 0, 0, 0). Ввиду формальной аналогии пространственно-временного континуума с евклидовым пространством, все обычные геометрические построения можно использовать в и (3-+- ^-пространстве. Геометрия этого пространства называется псевдоевклидовой. Отличие от евклидовой геометрии состоит в том, что расстояние (4.4) может равняться нулю и при ненулевых значениях (Xi). Все точки, расстояния до которых от начала координат равны нулю, образуют поверхность, удовлетворяющую уравнению
S2 = ^x* = X2у2Z2—с212 = 0. (4.6)
І
Эта поверхность называется световым конусом, так как уравнение (4.6) описывает распространение сферической световой волны, выходящей из начала координат
х ~ у = z = О
в момент времени t ~ 0. Световой конус делит (34-1) -пространство на две отдельные инвариантные области, характеризующиеся неравенствами
s'2 = X2 jT у" jT Z2 — сЧ2 С 0 (4.7а)
и
S2 - X2 + у2 jT Z2 — сН2 > 0 (4.76)
соответственно. Для любого события в области (4.76) можно с помощью преобразований Лоренца найти систему пространственно-временных координат S', в которой /' = 0, т. е. событие (Xi) = (х, у, Z1 t) одновременно с событием (0,0, 0, 0) в системе 5'. Для событий в области (4.7а) таких преобразований не существует.
Движение материальной частицы можно описать уравнениями в форме XlI = Xvi(Xi)-, ([X=I, 2,3), (4.8)
где Xvl (Xi) — определенные функции от временной переменной Xi. Эти уравнения представляют собой кривую в (3 + 1)-пространстве, которую будем называть мировой линией частицы. При равномерном движении Xll(Xi) — линейные функции, а мировая линия часгицы — прямая. Если мировая линия проходит через начало координат, то она целиком лежит в области (4.7а), так как скорость частицы не может превысить скорость света. В этом случае всегда можно найти такую систему 5', в которой ось х\ совпадает с мировой линией частицы. Для обычного трехмерного пространства последнее просто означает, что всегда можно выбрать инерциальную систему, движущуюся вместе с частицей.
Рассмотрим в системе 5 два произвольных события с координатами (Xi) и (Xi). При переходе к другой системе S' координаты обоих событий преобразуются одинаково, т. е. в соответствии с формулами (4.3) с одними и теми же коэффициентами а^. Это значит, что разности (Xi —Xi) также преобразуются в соответствии с этими формулами, поэтому выражение
S(*; —^i)2 = 2 to'—-Xt)2 (4.9)
і І
является инвариантом. Величина (4.9) представляет собой квадрат четырех-
мерного расстояния между точками (х,) и (Xi). Поскольку Sxf и 2х?? инвариант-
І І
72
ны, то в соответствии с (4.9) величина
2 Xi Xi =
Vl г ~~ /
2. Xi Xi
(4.10)
также является инвариантом. Используя (4.3), представляем правую часть (4.10) в виде
2(2 ан*Л(Ц«1
і \ I /Vm
т
В соответствии с (4.10) это выражение должно равняться 2 X1X1 при всех
_ і
значениях независимых переменных (X1) и (хт). Это возможно, однако, только
при следующих соотношениях между коэффициентами:
2 aim — ^lmi
где
1Im '
0 при I Ф т
1 при I = т
есть символ Кронекера.
Преобразования, обратные (4.3), имеют вид
(4.11)
(4.12)
(4.13)
поскольку
2 xI = 2 xI = 2 xI (2 = 2 Xt S
І І, I I ' і ' I
Подставляя (4.13) в правую часть (4.10), получаем
2 aIi arni ~
Ih = Хк-
(4.14)
Соотношения (4.11) и (4.14) для коэффициентов аік, так называемые условия ортогональности, показывают, что однородные преобразования Лоренца эквивалентны вращению системы координат в (3 + 1)-пространстве.
Используя (4.14), для детерминанта матрицы коэффициентов
а ¦¦
aIl ^12 OO 8 aI 4
O2I Ot22 Ct23 «24
«31 a32 «за °34
Ct4I Ot42 «43 Ot44
(4.15)
получаем, с учетом правила умножения детерминантов, следующее значение:
10 0 0
a2= !13 = 2а‘1 = I I =
