Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
получаем
v = e([v, В], v) = 0, (35.2)
где учтено, что смешанное произведение двух параллельных векторов,
стоящее в правой части, равно нулю. Из (35.2) следует
(35.3)
и, значит,
(35.4)
что и требовалось установить.
В случае релятивистских скоростей неизменной остается релятивистская
кинетическая энергия частицы. Для доказательства удобно исходить из
(28.3), в которую входит сила Лоренца. Из равенства нулю правой части
(28.3) следует
v2 = const,
== Const.
1^1 - v2/c2
(35.5)
Это означает постоянство релятивистской кинетической энергии и,
следовательно, абсолютного значения скорости. Поэтому можно сказать, что
утверждение о постоянстве абсолютного значения скорости частицы при
движении в магнитном поле справедливо как в нерелятивистском, так и в
релятивистском случае.
Движение в однородном магнитном поле. При рассмотрении движения заряда в
магнитном поле удобно скорость v представить в виде суммы скоростей
параллельно магнитному нолю Vj, и перпендикулярно ему vx (рис. 74):
V = Vl + V||.
(35.6)
228
Глава 8. ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Разложение вектора скорости заряда, движущегося в магнитном поле, на две
составляющие: вдоль индукции В магнитного поля и перпендикулярно ей
F = eE.
Сила Лоренца, действующая на заряд, равна
F = e[v'j_ + V||, В] = е[ух, В] +
+ e[\h В] = е[уХ) В], (35.7)
где учтено, что составляющая силы Лоренца вдоль магнитного поля равна
нулю, т. е.
Fe = e[v, В],, = 0;
(35.7а)
составляющая, перпендикулярная магнитному полю,
Е± = е[у±, В] (35.76)
зависит лишь от перпендикулярной составляющей скорости.
В нерелятивистском случае уравнения движения частицы для параллельной и
перпендикулярной составляющих ее скорости имеют вид:
dv,.
a) m0J = 0; б) т0 л Из (35.8а) следует
е[х±, В]. (35.8)
VII = const.
(35.9),
I
Поскольку сила, действующая на заряд со стороны магнитного поля,
перпендикулярна скорости, эта сила изменяет лишь ее направление, но не
изменяет абсолютного значения скорости. Следовательно, эта сила не
производит работы.
Это означает, что при движении в однородном магнитном поле, т. е. в
полр,, величина и направление которого во всех точках одни и те же,
составляющая скорости вдоль поля постоянна. Таким образом, в направлении,
параллельном вектору В, частица движется так, как если бы поля не было
вообще.
Для анализа движения перпендикулярно магнитному полю рассмотрим уравнение
(35.86). Перепишем равенство (35.4) с учетом (35.6) в виде
v2 = v\ -f- уд = const, (35.10)
откуда в силу (35.9) имеем
v\ = const.
(35.11)
35. Движение в стационарном магнитном поле
229
Таким образом, при движении в однородном магнитном поле сохраняется
неизменным абсолютное значение не только полной скорости, но и ее
перпендикулярной составляющей.
Посмотрим более внимательно на уравнение (35.86). Угол между векторами \L
и В остается постоянным и равным п/2. Абсолютные значения и В не
изменяются. Сила в правой части (35.86) перпендикулярна скорости и
постоянна по абсолютному значению. Следовательно, это уравнение описывает
движение с постоянным ускорением, направленным все время перпендикулярно
скорости, т. е. движение по окружности. Левая часть (35.86) выражает
произведение массы частицы на центростремительное ускорение v]Jr, где г -
радиус окружности, а правая часть - центростремительную силу \е\ v^B.
Поэтому можно записать
ntoV*x/r = | е | vxB.
(35.12)
Это уравнение содержит в себе полную характеристику движения заряженной
частицы по окружности в плоскости, перпендикулярной однородному
магнитному полю.
Направление вращения зависит от знака заряда. Из уравнения (35.86) можно
заключить, что направление вращения отрицательного заряда связано с
направлением магнитного поля В правилом правого винта, а положительного
заряда - правилом левого винта (рис. 75).
Из уравнения (35.12) получаются следующие выражения для угловой частоты
вращения и радиуса орбиты:
2я 2л
10 Т (2nrjv ^
\е\В
т0
_±.
(|>
т0 V..
ТёТв
Полное движение заряженной частицы в однородном постоянном магнитном поле
слагается из равномерного движения вдоль
F = е [v, В].
dp
dt
Какое свойство сил, действующих на заряд со стороны магнитного поля,
обусловливает неизменность абсолютного значения скорости заряда при
движении в этом поле!
Чем определяются параметры спирали, по которой движется заряд в
однородном магнитном поле!
(c) /'(c)
/ В
(c)\ (c)
(c)| (c) (c) ](c) \ I
(c)\(c) (c)/(c)
(35.13) 75
К определению направления вращения отрицательно заряженной частицы в
магнитном поле индукции В
230
Глава 8. ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
76.
Траектория движения заряженной частицы в поперечном магнитном поле
поля и вращения в плоскости, перпендикулярной ему. Это означает, что
частица движется по спирали, причем ее шаг I зависит от параллельной
составляющей скорости v\\ и периода вращения Т по окружности, т. е.
I = V\\T - Уц • 2яДо. (35.14)
В случае больших скоростей движение остается без изменения. Формулы
