Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
33. Проблема двух тел
219
Земли и т. д. Поэтому возникает задача учета движения обоих
взаимодействующих тел, которая называется проблемой двух тел.
Пусть два тела с массами т1 и т2 притягиваются друг к другу силами
тяготения. Их уравнения движения в инерциальной системе координат имеют
следующий вид (рис. 71):
_ O'2!-! ^ /ЛЦИ* Г
тх ~di*~ в G Т2- г '
_ (33.1)
_ п т1т* Т
П1п -г-г- - - (_г---5------
г dt2 г2 г '
где г = rt - Tj есть вектор, соединяющий взаимодействующие массы и
направленный от т1 к тг.
Общий характер движения может быть изучен с помощью соображений,
изложенных в § 23, относительно движения системы материальных точек.
Ясно, что точка центра масс, положение которой характеризуется радиусом-
вектором
*ц.м=в,(л*1Г1 + т,г2)/(те1 + та), (33.2)
движется равномерно и прямолинейно, а массы nti и га2 движутся таким
образом, что в системе центра масс их суммарный импульс равен нулю.
Момент импульса этих масс в любой инерциальной системе, в том числе
связанной с центром масс, сохраняется.
Однако решение задачи двух тел более удобно не в системе центра масс, а в
системе координат, связанной с одним из тел, так как в этом случае задача
математически эквивалентна проблеме одного тела. Для этого разделим
уравнения (33.1) соответственно на mj и го2 и вычтем из второго первое.
Тогда получим
rf2 , . rf2r
(и - г,) = ж -=
__ _ /_1_ | JJ', q "h"h r_
\ nij ' т2) г2 г *
(33.3)
т2
71.
К решению задачи о движении двух тел
Точке О - начало отсчета радиу-еов-векторов
!
Отклонения формы Земли от шарообразной удобно представить в виде
гармонии, натдая из ноторых вносит в орбиту спутника, движущегося вокруг
шарообразной Земли, определенные отклонения, Изучая эти изменения в
орбите, можно сделать заключение о величине гармонии, которыми они
обусловливаются. Зная гармоники, можно найти истинную форму Земли.
220
Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
Обозначим сумму обратных масс, стоящую в скобках, через
причем р, называется приведенной массой. Тогда уравнение (33.3) запишется
в виде
Это есть уравнение движения в проблеме одного тела, потому что
неизвестной величиной является один вектор г. Решение такого рода
уравнения было подробно рассмотрено в § 31, 32. Результаты этих
параграфов можно непосредственно применить к (33.5), приняв лишь во
внимание, что сила взаимодействия определяется массами тх и тг
взаимодействующих тел, а инерционные свойства - приведенной массой р. При
решении задачи одно из тел, с которым совпадает начало отсчета радиуса-
вектора, принимается за неподвижное, а движение другого тела описывается
относительно этого тела.
Переход в систему центра масс. После того как в результате решения
уравнения (33.5) получено изменение вектора г = г(t), проще всего найти
траектории обеих масс в системе центра масс. Если обозначить радиусы-
векторы масс и т2 через и т'ч, взяв за начало отсчета этих векторов точку
центра масс, то, по его определению, имеем (рис. 71):
С помощью этих соотношений, зная г(t), можно вычертить г[(t) и v2(t).
Траектории обоих тел являются подобными относительно центра масс, причем
центр подобия находится в центре масс, а отношение подобия равно
отношению масс.
Приливы. При движении в неоднородном поле тяготения в телах возникают
силы, стремящиеся деформировать их, а также соответствующие деформации.
Пусть три материальные точки массы т каждая, связанные невесомой
пружиной, свободно падают в неоднородном поле тяготения вдоль прямой,
соединяющей их центры (рис. 72), а поле тяготения, в котором происходит
движение, создается точечной массой. Силы тяготения, действующие на эти
точки, не равны друг другу: верхняя точка испытывает меньшую силу
тяготения, чем нижняя. Эта ситуация, как изображено на рис. 72,
эквивалентна следующей: на все три тела действуют одинаковые силы, равные
силе, действующей на среднее тело, и дополнительно на верхнее тело
действует сила, направленная вверх, а на нижнее тело - направленная вниз.
Следовательно, пружина должна растянуться. Таким образом,
(1/ц) = (1/тп1)4-(1/т2),
(33.4)
q тгт2 ?
(33.5)
33. Проблема двух тел
221
неоднородное поле тяготения стремится растянуть материальное тело в
направлении неоднородности.
В частности, поле тяготения Солнца растягивает Землю вдоль линии,
соединяющей их центры. Аналогичный эффект на Землю оказывает п Луна.
Величина эффекта зависит не от силы тяготения, а от скорости изменения
этой силы.
Движение планеты вокруг Солнца, представляет собой свободное падение. Она
не может упасть на Солнце лишь из-за наличия касательной скорости,
перпендикулярной линии, соединяющей центры планеты и Солнца. На небесное
тело, движущееся в поле тяготения другого тела, действует описанная
деформирующая сила.
В поле шарообразного тела сила тяготения на расстоянии г от центра равна
F = - GMm/r2, а следовательно скорость изменения этой силы с расстоянием
определяется по формуле (dF/dr) = 2GMm/r3. Для полей тяготения Солнца и
