Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
сказать, что это можно сделать, если в качестве F (х) взять первообразную
функцию от / (х), т. е.
F(x) = $fix)dx- (15-2)
126 2. Термодинамический метод
Поэтому в случае одной переменной практически всегда можно бесконечно
малую величину рассматривать как бесконечно малое приращение некоторой
функции. При этом бесконечно малая величина Дх) dx называется полным
дифференциалом. Как бесконечно малое приращение функции F он записывается
в виде
dF(x) =/(x)dx. (15.3)
Здесь символ d употребляется для обозначения бесконечно малого приращения
функции.
По-другому обстоит дело в большинстве случаев двух переменных и большего
их числа. Пусть для двух переменных имеется бесконечно малая величина
а = У(х, y)dx + Q(x, y)dy, (15.4)
в которой &(х, у) и Q(x, у) являются некоторыми функциями от х, у. Здесь
бесконечно малая величина обозначена без использования символов d или 8,
поскольку еще не ясно, какой из символов использовать. Спрашивается,
можно ли представить эту величину как приращение некоторой функции F(x,
у) от переменных х, у в двух соседних точках, т. е. в виде F (х + dx, у +
dy) - F (х, у) = а, причем такое представление должно быть возможно при
независимых изменениях аргументов. В общем случае при произвольных f и Q
это невозможно.
Полный дифференциал. Это оказывается возможным лишь при определенном
соотношении между 9 и Q. Запишем искомое требование:
f(x, у) dx + Q (х, у) dy = F (х + dx, у + dy) - F (х, у). (15.5)
Разложим F(x 4- dx, у + dy) в ряд по dx, dy и ограничимся первым членом:
dF dF
F(x + dx, у + dy) = F(x, у) + -^-dx + -^-dy. (15.6)
Равенство (15.5) превращается в следующее:
&dx + Qdy = dx + Щ-dy. (15.7)
dx dy
Поскольку x и у являются независимыми величинами, из (15.7) следует, что
Дифференцируя & по у и Q по х, получаем: ду дудх ' дх дхду
Смешанная производная от порядка дифференцирований не зависит: 82F/{dxdy)
= = d2F/(dydx); из (15.9) заключаем, что
_ 8Q ду дх
(15.10)
Таким образом доказано, что бесконечно малая величина (15.4) может быть
представлена в виде бесконечно малого приращения другой функции F (х, у)
§15. Дифференциальные формы и полные дифференциалы 127
в виде (15.5) или (15.7), если функции @ и Q удовлетворяют условию
(15.10), которое является необходимым и достаточным. В этом случае
бесконечно малая величина (15.4) называется полным дифференциалом и
обозначается с помощью
(15.7) в виде
(15.11)
т. е. является бесконечно малым приращением функции F, для которого
используется символ dF, указывающий в явном виде величину F, о приращении
которой идет речь.
Если бы условие (15.10) не выполнялось, то а была бы бесконечно малой
величиной, которую невозможно представить в виде приращения другой
функции. Для ее обозначения можно было бы использовать, например, символ
8L, однако в этом выражении L не обозначает какую-то величину, о которой
имеет смысл говорить, что она при данных условиях имеет какое-то
определенное значение. Буква L в таком выражении используется для
обозначения качества величины, о которой идет речь, чтобы отличать ее от
других величин, а символ 8 указывает, что берется бесконечно малое
количество указанной величины. Поэтому символ 8L есть единое целое,
имеющее количественный смысл лишь для бесконечно малого значения.
Основное свойство бесконечно малых величин, являющихся полными
дифференциалами, состоит в том, что интеграл от них вида
(*2, Уг)
J (^dx + Qdy) (15.12)
(ХьШ
между двумя любыми точками (хь ух) и (х2, у2) зависит от положений
начальной и конечной точек, но не зависит от пути, соединяющего эти
точки. Отметим, что интеграл (15.12) при соблюдении условия (15.11)
вычисляется по формуле
(х2) Уг) (х2, у2)
I (&dx + Qdy)= J dF = F(х2, у2) - F(хь ух). (15.13)
(*Ь.Щ (х ьдч)
Формула (15.13) показывает явно, что интеграл от бесконечно малой
величины, являющейся полным дифференциалом, действительно не зависит от
пути, а зависит лишь от конечной и начальной точек пути.
Если переменные х, у характеризуют состояние некоторой системы и
бесконечно малая величина вида (15.4) является полным дифференциалом от
функции F, то говорят, что функция F является функцией состояния, т. е.
функцией, которая в заданном состоянии системы имеет вполне определенное
значение, независимое от того, каким путем или способом система в это
состояние приведена. Функции состояния являются его важнейшими
характеристиками.
Рассмотрим две дифференциальные формы:
с?! == х dy + у dx, (15.14)
сг2 = х dy - у dx (15.15)
и вычислим интегралы между точками (х0, у0) и (хь ух) по двум различным
путям, идущим параллельно осям координат (рис. 24). Обозначим путь (х0,
Уо)_^(л:о5 У1) "*(xi> У1) как а путь
128 2. Термодинамический метод
(*о, Уо)-фь у^-как L2. Тогда
(*о, У1)
(cti) = J(xdy + ydx) = J (x dy + у dx) +
Li (*o>To)
24
(15.16)
(*i. Ti)
+ I (xdy + ydx) = x0(y1 - y0) + y! (xi - x0) = y^ - x0y0,
(*o, Ti)
(x" Го) (*i. ri)
7г(<П) = I (x dy + у dx) = J (xdy + ydx) + J (x dy + у dx) =
