Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
при совершенно различной интенсивности дрожаний легкие и тяжелые частицы
тем не менее удаляются с одинаковой средней скоростью от начала? Ответ
состоит в том, что легкие частицы действительно значительно более
энергично движутся, чем тяжелые, но окончательный результат всех движений
приводит к одинаковой средней скорости удаления от начала. В этом смысле
о движении легких частиц можно сказать, что у них "много движений и
никаких достижений".
Вращательное броуновское движение трудно количественно исследовать на
частицах, взвешенных в жидкости. Проще это сделать с помощью небольшого
легкого зеркала, подвешенного на упругой нити. Вследствие взаимодействия
с молекулами
<г2> = 6kTt/b.
(13.10)
Ъ = 6 n\ir0,
(13.11)
О Средняя скорость движения броуновской частицы зависит от ее массы, а
средний квадрат удаления частицы от начала за фиксированный промежуток
времени от массы не зависит. Почему у легких частиц "много движений и
никаких достижений" по сравнению с медленно движущимися тяжелыми
частицами?
Объясните детально, почему средняя сила, действующая со стороны молекул
на покоящуюся частицу, равна нулю, а на движущуюся - не равна нулю.
Докажите, что эта сила пропорциональна первой степени скорости частицы и
направлена против скорости.
8 А. Н. Матвеев - 1488
114 1. Статистический метод
воздуха установится статистическое равновесие и на каждую степень свободы
зеркала должна приходиться энергия к Т/2. Поэтому зеркало будет
испытывать крутильные колебания вокруг оси, совпадающей с вертикальной
нитью, на которой оно подвешено. Если поверхность зеркала освещается
лучом света, то отраженный луч сильно смещается даже при весьма малых
поворотах зеркала. Поэтому даже небольшие крутильные колебания можно
заметить и измерить.
Вычислим средний квадрат угловой амплитуды этих колебаний. Пусть модуль
кручения нити D, а момент инерции зеркала относительно оси кручения нити
J. Угол поворота зеркала от положения равновесия пусть ср. Уравнение
крутильных колебаний имеет вид
Jip=-Dy, (13.12)
где знак минус учитывает, что момент сил упругости нити стремится вернуть
зеркало в положение равновесия. Умножая обе части уравнения на ф и
интегрируя, получаем закон сохранения энергии при колебании нити:
72/ф2 + 721>Ф2 = const. (13.13)
Малые крутильные колебания являются гармоническими, поэтому
'/2^<Ф2> = 72Й<Ф2> = ЧгкТ, (13.14)
где использована 1еорема о равнораспределении энергии по степеням
свободы. Тогда для броуновских крутильных колебаний зеркала находим
<Ф2> = к T/D. (13.15)
Эту величину можно измерить. Например, при Тта 290 К, D^IO-15 Нм получаем
<ср2> " 4-10-6, что и измеряется. Зная параметры нити и температуру и
измеряя <ср2>, можно по формуле (3.14) найти значение постоянной к. Эти
результаты для к хорошо согласуются с теми, которые были получены с
помощью распределения Больцмана и поступательного броуновского движения.
Таким образом, броуновское движение дает непосредственный путь
определения молекулярной постоянной к методом измерения макроскопических
параметров. С другой стороны, исследование газов, достаточно хорошо
описываемых уравнением идеальных газов pV=vRT, позволяет найти значение
молярной газовой постоянной, которая также является макроскопической
величиной. Зная R и к, по формуле
(10.8) можно определить еще одну важнейшую величину, характеризующую
микроскопические свойства систем - постоянную Авогадро [см. (10.6)]:
Na = R/k. (13.16)
Пример 13.1. Определить максимальную чувствительность зеркального
гальванометра с внутренним сопротивлением R - 200 кОм. Полное отклонение
зеркала в апериодическом режиме достигается за время т = 20 с. Доля
энергии, которая запасается в виде потенциальной энергии закрученной
пружины, составляет q = 0,3 подводимой энергии. Температура равна 27°С.
Принимается, что минимальный ток, который может быть надежно детектирован
гальванометром, должен давать отклонения, превышающие термические
колебания стрелки в п = 3 раза.
Гальванометр за время своего установления получает из внешней цепи
энергию
W= т RI2, (13.17)
§ 13. Броуновское движение 115
часть которой (q) запасается в виде потенциальной энергии пружины
гальванометра:
U = qW= qxRI2. (13.18)
Средняя энергия тепловых колебаний гальванометра по теореме о
равнораспределении равна = V2кТ. Такие колебания в соответствии с
(13.18) эквивалент-
ны выбросам тока
<(Д/)2> = < WTenn}/qxR = kT/(2qxR). (13.19)
Минимальная сила тока /мин должна в п раз превосходить "Д/2"1/2, поэтому
/мин = п (<(Д/)2"1/2 = п [kT/{2qxR)Y12 = 0,4 • 10" 13 А.
Задачи
1.1. Из колоды, состоящей из п различных карт, необходимо вынуть men
наперед заданных карт. Какова вероятность того, что, взяв из колоды
наугад m карт, мы найдем среди них все наперед заданные карты?
1.2. В урне имеется п белых и m черных шаров. Какова вероятность того,
что при трех последовательных испытаниях будет вынут белый шар: а) если
вынутый ранее шар возвращается в урну; б) если он не возвращается?
