Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
"...появилась впоследствии и потребовалось 4 года для ее расшифровки.
Впервые эта формула была написана перед аудиторией 23 августа 1948 г. на
доске Корнеллского университета на конференции, посвященной фазовым
переходам. К тому моменту как раз Ласло Тисса представил статью по общей
теории фазовых переходов. Григори Ванье открыл дискуссию вопросом о
совместимости этой теории с некоторыми свойствами модели Изинга. Онзагер
продолжил дискуссию и затем заметил, между прочим, что выражение для
спонтанной намагниченности в двумерной модели как раз имеет вид (0). Как
будто для того, чтобы еще больше раздразнить аудиторию, на первом
послевоенном заседании Международного союза чистой и прикладной физики,
посвященном статистической механике, во Флоренции в 1948 г. эта формула
вновь всплыла во время дискуссии, вызванной работой Рашбру-ка. И наконец,
она появилась в печати в виде замечания [5]... Однако Онзагер никогда не
опубликовывал своих вычислений.
<М = (1 - аГ2)1/в,
*) Настоящая глава основана на работе Опзагера [1], а также на обзорных
статьях [2-4].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
333
Загадка в конце концов была решена Янгом, и его решение было опубликовано
в 1952 г. Анализ Янга очень сложен" [6].
В этой главе мы заново выводим основные свойства, обнаруженные этими
авторами, для чего пользуемся только элементарными свойствами спинов s =
1/2 и их преобразованием к фер-мионам. Так что нам понадобится метод не
более сложный, чем тот, которым мы пользовались в гл. 3 о представлении
спинов 1/2.
Модель Изинга, как слишком "тривиальная", возможно, не найдет себе места
в учебниках последующих поколений. Но сейчас овладение этой моделью
представляется разумным введением в нерешенные задачи статистической
механики, связанные с областью магнитных явлений и вне ее. Поэтому
рассмотрение этой модели подходит для завершения настоящего курса, и мы
заметим, что, хотя основные результаты получены для двумерной решетки,
все формулы, вплоть до (30) (но не далее!), можно тривиально
распространить на трехмерный случай.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим набор спинов 112 в узлах квадратной решетки из М столбцов и N
строк, взаимодействующих только с ближайшими соседями и с магнитным полем
h. В итоге мы будем полагать, что М и N стремятся к бесконечности,
сохраняя отношение M/N постоянным; обозначим его как lim
М,
Пусть гамильтониан равен
SB = Jl 2 O/i, тОд+1, т J2 2 тпРп, m+1 ^ 2 i т- (1)
Индексы (п, т) относятся к ячейке, расположенной на пересечении п-й
строки и /п-го столбца; /(и/2 - константы связи соответственно внутри
строки и внутри столбца. (Для ферромагнетика константы взаимодействия и
Jг > 0. Если какая-нибудь из констант отрицательна, ее можно сделать
существенно положительной преобразованием ст-> - ст в каждом втором
столбце, или в каждой второй строке, или там и там. Конечно, после этого
изменится член, содержащий h.) Магнетон Бора включен в h. Каждый оператор
ст", т есть а>^,т, тождественный с классической переменной, однако
принимающий только два значения ±1. Но, как нам известно, физические
характеристики (например, статистическая сумма) не зависят от избранного
представления, и дальше удобнее пользоваться вместо стг другой спиновой
матрицей Паули
О 1
334
9. МОДЕЛЬ ИЗИНГА
имеющей те же собственные значения, но не тривиально диаго-нал ыюй.
Для задания граничных условий мы можем предположить, что решетка согнута
в виде тора так, что .'V + 1 = 1 и /I/ Д- 1 = 1, или она имеет свободные
границы. Каждое граничное условие имеет свои преимущества и недостатки
[4]. Дальше мы воспользуемся тем фактом, что свободная энергия,
отнесенная к одному спину, и другие подобные характеристики не могут
зависеть от выбора граничных условий; поэтому мы используем простейшее из
возможных граничных условий, часто не конкретизируя их.
Свободная энергия f, отнесенная к одному спину, дается выражением
e-P(.YM)r = z= V ... 2 (За)
СТИ = ±1 Од,м=±1
которое представляет собой обычную формулу для
г = Бр{е-№}, (36)
записанную в явном виде. Помимо обычных термодинамических функций в
нулевом магнитном поле, которые мы рассмотрим особенно подробно с точки
зрения фазового перехода, нам нужно еще вычислить спонтанную
намагниченность, высокотемпературную магнитную восприимчивость и т. д.
МАТРИЦА ПЕРЕХОДА
Введение матрицы перехода позволяет свести двумерную задачу к задаче о
линейном распределении спинов, т. е. матрицу размерности 2NM свести к
матрице размерности 2s. В общем случае даже этого упрощения, вообще
говоря, недостаточно, и тот факт, что возможно найти собственные значения
именно этой матрицы - лишь счастливая случайность. Этим и объясняется то
обстоятельство, что двумерная модель Изинга занимает особое положение.
Мы уже встречались с матрицей перехода при решении одномерной задачи в
магнитном поле; задача (в этом случае размерности 2V) сводилась к
нахождению собственных значений матрицы перехода размерности 2x2.
Займемся сейчас кратким обсуждением этого вопроса в применении к двум или
