Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
325
Здесь
Р = Р(1-Ь), g = g(l-b) = ^L{\-b), Ь = Ь(Т).
Равенство
(120)
позволяет получить асимптотическое разложение Д из выведенной ранее
формулы для 10. В результате выразим Ь(Т) в виде ряда по степеням
температуры
Задача 14. Вычислите коэффициент Сь/12 в (121).
Воспользуемся этим результатом для получения основной поправки к
намагниченности [17] в разложении по степеням температуры [см. (103)];
обозначим ее D
Первый появляющийся поправочный член, как легко видеть,- член высшего
порядка по сравнению с основными, удержанными в первоначальном разложении
m (Т) в ряд [см. (103)], и поскольку он пропорционален Г4, то это первая
целая степень, входящая в разложение. Вычисление коэффициента Ds/2 при
этом поправочном члене дано в виде задачи 15.
Задача 15. Вычислите Z)a/2, заметив, что Вз/2= 1, и использовав результат
задачи 14.
Такое положение представляется вполне естественным; нелинейные эффекты не
проявляются при низких температурах, когда возбуждено небольшое
количество магнонов, в силу чего поправки к линейной теории должны быть
малыми. Чтобы оценить важность нелинейных эффектов, нужно исследовать
область в окрестности температуры Кюри.
Для определенности снова рассмотрим случай больших спинов s " 1, так что
температура Кюри порядка kTc ~ Js2. Для всех температур, для которых
выполняется неравенство кТ > Js (и выше и ниже температуры перехода Тс),
можно заменить функцию Бозе - Эйнштейна двумя первыми членами ее
разложения по степеням 71-1 и, таким образом, получить уравнение
Ъ(Т) = Сщ[-1-У' + 0{ТУг).
(121)
к
(122)
(123)
326
8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
которое имеет решение
В этой области температур намагниченность дается выражением т(Т) = 1-----
----- V (еРЙ0,к _ л-i ~ I J кт ш н 951
/Vs ^-i 1 2s (i-6)6/s2
k
Возникает очень странное явление. При температуре Тв-sIaTc, которая
определяется выражением
kTB = 6Js* = (126)
дискрргминант в формуле для Ъ (Т) [см. (124)1 обращается в нуль. Если
температура поднимается выше этого значения, то b (Т) становится
комплексным и формулы теряют смысл. Мы вычислим 171 {Гв ) и придем к
следующему результату:
тп (Тв) = 1 4- ± _¦Ц- ( 1 + JL ) " 0,25 -f О (*-1), (127)
что еще очень близко к насыщению. При этих температурах линейная теория
спиновых волн по-прежнему совершенно правильна. Однако нелинейная теория
становится неприменимой уже в том случае, когда нет достаточно большого
количества возбужденных магнонов, но самосогласованным уравнениям нельзя
удовлетворить. Намечается два выхода из этих затруднений: 1) нужно
удержать больше членов в теории возмущений (см. стр. 209), если
разложение не будет расходиться; 2) если недоразумение вызвано
нефизическими состояниями, то их нужно исключить более эффективно - так,
как это было сделано в точном гамильтониане (см. стр. 202).
Мишелин Блох [151 произвела численный расчет Ъ(Т) для случая я = 1/пИ5 =
1, получив лучшие результаты. Она нашла аналогичное нарушение
непрерывности в поведении дискриминанта, но, что удивительно, температура
Тв, при которой уравнения перестают иметь решение, с точностью до
нескольких процентов согласуется с лучшими высокотемпературными оценками
температуры Кюри [см. (138)1. Применение теории для случая малых спинов
еще с одной точки зрения более удовлетворительно, чем соответствующий уже
рассмотренный предельный случай: намагниченность для спинов V2 равна ni
(Т[:) xz 1/3, что намного ближе к точному значению \т (7\.) = 0 по
определению]], чем величина, найденная в данном тексте. Дальнейшие
подробности читатель может найти в цитированной работе [15J.
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
327
Нелинейная теория спиновых волн с нескольких точек зрения менее
удовлетворительна, чем линейная теория. Это становится понятным, если
согласиться с тем, что при Т ~ Тс ряды теории возмущений есть
асимптотические ряды и что в силу природы таких разложений удержание
большего числа членов не всегда увеличивает точность. "Фазовый переход",
происходящий при 7'в, обязан своим появлением математической
неадекватности модели и физического смысла не имеет, однако вычислению
удельной теплоемкости он не вредит (вычисление проведено в задаче 16).
Оказывается, что с (Т) ~ (7'в - 7')-1/2 в окрестности Тв. (Поскольку эта
сингулярность интегрируема, то это отнюдь не служит доказательством
существования фазового перехода первого рода.)
В заключение отметим, что этот пример не следует понимать слишком
буквально. Для взаимодействий большего радиуса, таких, как взаимодействие
Рудермана - Киттеля в металлах, нелинейные члены в (113) могут быть
значительно меньше, чем в данной модели1) (а иногда значительно больше!
Это зависит от kF и очень чувствительно к структуре). Когда нелинейные
члены малы, решение для Ъ (Т) может существовать во всем интервале
температур до температуры Кюри, пг (Тс) = 0. Именно в этих случаях
нелинейная теория спиновых волн является физически разумной моделью и
полезным приближением в гейзенберговской модели.
