Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
В конце главы 7 рассмотрена устойчивость точек либрации при критическом отношении масс Рауса. Для этого отношения масс характеристическое уравнение линейной системы имеет чисто мнимые кратные корни, а точки либрации в линейном приближении неустойчивы. Строгий нелинейный анализ показал, что имеет место формальная устойчивость.
Глава 8 посвящена исследованию треугольных точек либрации в пространственней круговой задаче. Доказано, что при всех значениях |а из области устойчивости в линейном приближении имеет место устойчивость для большинства начальных условий, за исключением двух значений ц., для которых в главе 7 доказана неустойчивость. Кроме того, доказано, что для почти всех значений ц, из области устойчивости в линейном приближении точки либрации в пространственной круговой задаче формально устойчивы. В заключение главы показана формальная устойчивость треугольных точек либрации при критическом отношении масс Рауса.
В главе 9 рассмотрена плоская эллиптическая задача. Здесь задача чрезвычайно усложняется, так как независимая переменная явно входит в уравнения движения. Первые исследования устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче
14
ВВЕДЕНИЕ
трех тел принадлежат Ляпунову [48]. Он рассматривал задачу н линейном приближении. Многочисленные позднейшие исследования многих авторов также связаны только с линейной задачей.
В главе 9 задача устойчивости рассмотрена в строгой нелинейной постановке. Исследование проводится как аналитическими (при малых значениях эксцентриситета е), так и численными (при произвольных параметрах е и (J.) методами. В области устойчивости в линейном приближении, полученной впервые Дэнби [110], выделены кривые, на которых выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Для значений параметров е ж [і, принадлежащих этим кривым, показаны либо неустойчивость, либо устойчивость в конечном (но достаточно высоком) нелинейном приближении. При значениях параметров, не принадлежащих этим кривым (а иногда еще и кривым, на которых выполнены резонансные соотношения пятого и шестого порядков), доказаны устойчивость для большинства начальных условий и формальная устойчивость.
Самым сложным в задаче об устойчивости треугольных точек либрации является случай пространственной эллиптической задачи. Он исследуется в главе 10. Помимо увеличения числа степеней свободы изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна характерная только для этой задачи особенность: имеет место тождественный (при всех еи(і) резонанс из-за равенства периода кеплеровского движения основных притягивающих тел и периода линейных колебаний тела бесконечно малой массы по направлению, перпендикулярному плоскости их орбиты.
Полученные в главах 3—5 условия устойчивости и неустойчивости здесь неприменимы. Требуется особое исследование, которое в главе 10 проводится при помощи второго метода Ляпунова. Результаты этого исследования применяются при аналитическом и численном анализе устойчивости.
Для достаточно малых значений еи|і получена область неустойчивости. Она является очень узкой областью. В плоскости е, (j, одной из ее границ является ось Ое, а другой — кривая, мало отличающая от параболы е — 3953 Y М-- При произвольных е и (J, проводится численное исследование. Новые области неустойчивости не обнаружены.
Глава 11 содержит изложение основ метода Депри — Хори в теории возмущений гамильтоновых систем. В настоящее время на русском языке нет еще достаточно подробного описания этого метода. Разработанный сравнительно недавно [113, 142], он имеет значительные преимущества перед широко известными классическими методами, такими как, например, преобразование Бирк-гофа [7] или метод Цейпеля [9]. Практическое построение канонических преобразований в методе Депри — Хори основано на использовании рядов Ли и преобразовании Ли. Для ясности изложения
введение
15
в главе 11 сначала рассматриваются ряды Ли и их некоторые свойства, а затем излагается сам метод и его упрощение, осуществленное Кэмилом [143, 144]. В конце главы кратко описана формальная техника применения метода Депри — Хори.
В главе 12 подробно исследуются периодические движения, близкие к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Существование рассматриваемых периодических движений следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле [22, 49]. Во введении к главе 12 дана краткая история исследований, связанных с построением и анализом устойчивости периодических движений, близких к треугольным точкам либрации. Затем предлагается новый способ их построения и алгоритм исследования их орбитальной устойчивости. Подробно рассмотрены различные резонансные ситуации, возникающие в задаче об устойчивости. В последнем параграфе главы 12 приведены результаты численного исследования устойчивости периодических движений.
Глава 13 посвящена численному и аналитическому исследованию движения вблизитреугольных точек либрации системы Земля—Луна с учетом гравитационных солнечных возмущений. Сначала излагаются результаты численного анализа, проведенного в работах Тэпли, Льюэллена и Шульца [176, 177] и связанного с рассмотрением влияния солнечных возмущений на движение тела бесконечно малой массы, помещенного в точку L4 или вблизи нее с нулевой или малой относительной скоростью. Оказывается, что солнечные возмущения приводят к значительным (доходящим до 190 ООО км) отклонениям тела бесконечно малой массы от точки либрации. В главе 13 приведено большое количество графиков, наглядно иллюстрирующих влияние солнечных возмущений и их зависимость от начальных условий.