Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
ный корень zі = І/zjj той же кратности.
Теорема Ляпунова—Пуанкаре. Если матрица Н (t) линейной гамильтоновой системы (1.1) — 2п-периодическйя по t, то характеристическое уравнение
/ (р) = det (X (2л) — рЕ2„) = 0 (4.3)
— возвратное.
Доказательство. Во-первых, докажем, что матрица фундаментальных решений X (t) — симплектическая, т. е. справедливо тождество
X*IX = I. (4.4)
В самом деле, при t — 0 равенство (4.4), очевидно, справедливо,
НОРМАЛИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
39
а вычислив производную правой его части, получим d (XJ;-X) = IX + ХТ1 22- = ХТНТ1Т1Х + ХТ12НХ =
at at 1 at
= ХТН (- I2) х + XTI2HX = хтнх - хтнх = о.
Поэтому равенство (4.4) справедливо при всех ?.
Во-вторых, отметим, что из теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема [16] следует, что det X (2я) = 1.
Теперь можно проверить, что уравнение (4.3) — возвратное. Имеем
/ (р) = det (X - рЕ) = det X (Е - рХ'1) = det (Е — рГЧИ) =
= det Г1 det;(E - рХ*) det.I = det (Е — РХ)Т =
= det (Е - рХ) = р*« det (х - JL е) = р*»/ .
Значит, характеристическое уравнение (4.3) — возвратное, и теорема Ляпунова — Пуанкаре доказана.
Укажем важнейшие следствия этой теоремы:
1) линейная гамильтонова система (1.1) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы р7- расположены на единичной окружности | р | = 1 и матрица ' X (2п) приводится к диагональной форме;
2) мультипликаторы р} и1/р7 имеют одинаковую кратность;
3) если характеристическое уравнение (4.3) имеет корень р = 1 или р = —1, то эти корни имеют четную кратность.
§ 5. Нормализация гамильтоновой системы линейных
уравнений с периодическими коэффициентами
Рассмотрим снова систему (1.1) с непрерывной периодической матрицей Н (t). Согласно теореме Ляпунова система (1.1) приводима. Соответствующая замена переменных может быть записана в виде (3.11). Но замена переменных, приводящая систему (1.1) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей Н (t) неоднозначно. В этом параграфе построен алгоритм отыскания линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (1.1) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Xj системы (1.1) — чисто мнимые, Я к = itfjf, а все мультипликаторы р^ = exp (і2я<їл), рп+їс = Pj? (к = 1, 2, . . ., п) различны. Черта обозначает комплексно сопряженную величину.
Как и в случае, когда в системе (1.1) матрица Н (t) постоянна, мы называем нормальной формой системы (1.1) такую систему уравнений с постоянными коэффициентами, которой соответствует
40
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
функция Гамильтона вида (2.1). Задача нормализации линейных канонических систем с периодическими коэффициентами исчерпывающе изучена в работах [109, 157, 179—182]. Показано, что нормализующее преобразование можно выбрать вещественным и 2я-периодическим по t. Для п = 1 в [53] показано, как практически получить такое преобразование. Теперь рассмотрим, следуя [54], задачу нормализации для произвольного п. Результаты представим так, чтобы их было удобно применять при решении конкретных механических задач.
Пусть X (t) — фундаментальная матрица — решение системы (1.1). Нормализующее преобразование
представим как последовательность двух замен переменных
здесь В — диагональная матрица, у которой элементы определены равенствами n+(r = icrfc (4 = 1,2,..., п). Матрица С имеет
вид (2.6).
Преобразование (5.2) приводит систему (1.1) к диагональной форме
После применения преобразования (5.3) система уравнений (5.4) приобретает нормальную форму с функцией Гамильтона (2.1). Постоянную матрицу А в формуле (5.2) подберем так, чтобы преобразование (5.1) было вещественным, унивалентным, каноническим 2я-периодическим по t.
Преобразование (5.3), как нетрудно проверить, является каноническим с валентностью 2і. Кроме того, матрицы X (t) и. e~Bt — симплектические. Для X (t) это показано в § 4, а симплек-тичность e~Bt очевидна. Таким образом, чтобы преобразование (5.1) было кононическим и унивалентным, необходимо и достаточно [16], чтобы матрица А была обобщенно-симплектической с валентностью 1/2І, т. е. должно выполняться равенство
X = Ny
(5.1)
х = X (t) Ае~шг, z = Су;
(5.2)
(5.3)
(5.5)
Далее, из условия 2я-периодичности нормализующего преобразования (5.1):
X (2я) Ае-*ЯВС = X (0) АЕ2пС
§ 51
НОРМАЛИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ІІ
получаем матричное уравнение для определения А
Pi .
А-1Х (2л) А = е2ЯВ, е2лВ =
(5.6)
Рп
Матрица е®*® является диагональной формой матрицы X (2л). У матрицы А, приводящей X (2л;) к диагональной форме, /-й столбец есть собственный вектор еу, соответствующий мультипликатору р^- (7 = 1,2,..., 2га). Ее можно представить в виде А = LD, где L — какое-либо решение уравнения (5.6), a D — диагональная матрица порядка 2га, элементы которой подберем так, чтобы удовлетворить условию (5.5).
Кроме того, будем считать, что элементы матрицы D — вещественные числа и <in+jc,n+fe = а собственные векторы Єп+jc и е* — комплексно сопряженные (к = 1, 2, . . ., га). Это обеспечивает вещественность нормализующего преобразования.
