Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
получаем
°<г' И /аг*ехР(- Л*г)Х
Л"
X {2 /ч 2 (Ло I ехр [- /х • X (/х)] | я) X
I Я# /1
X ехр [/ (?"/й) t\ {п | ехр \i% • х (/2)] I л0> ехр [- i (E"Jh) t] J.
(7.7.6)
Так как |л0) и |л) являются точными собственными состояниями
гамильтониана решетки, формулу (7.7.6) можно записать окончательно в виде
°(г' *)=(2д)зn S /^3*ехр(-/х-г)(ехр[-"-х(/;0)]Х
h* к
X ехр \i* • х (/; *)]), (7.7.7)
где мы ввели гейзенберговские операторы
х(/; t) = eltffihx(I)e-ltHlh (7.7.8)
и где угловые скобки обозначают среднее по ансамблю начальных состояний
(7-М)
Функция G(r, t) обладает следующими общими свойствами. Если в
рассеивающей системе проявляются квантовые эффекты, то функция G(r, t)
является в общем случае комплексной. Однако она удовлетворяет условию
0(-г, -<) = <?* (г, <). (7.7.10)
из которого следует, что функция S(x, о) вещественна. В классическом
пределе, т, е. при b -*¦ 0, функция
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 351
G(г, t) вещественна. Для систем, состоящих из большого числа частиц при
больших значениях |Л или г, функция G(r, t) имеет простой асимптотический
вид. Частицы, разделенные большими пространственными или временными
интервалами, являются статистически независимыми. Поэтому для больших
значений |/| или г асимптотически выполняется следующее соотношение:
0(т, t)~-L f p(r-r')p(r')dY, (7.7.11)
где p(r)-средняя плотность в точке г, не зависящая от времени. Для
однородной системы, заключенной в объеме V, плотность р(г) является
постоянной величиной p=N/V и формула (7.7.11) приводится к виду
С? (г, *)~Р- (7.7.12)
Если асимптотическое выражение (7.7.11) для G(г, t) обозначить через G"
(г, t), то G(r, t) можно представить в виде суммы
С?(г, *) = G=o(r, t) + G'(r, t). (7.7.13)
Очевидно, что функция G'(г, t) описывает корреляцию пары частиц. Если
выражение (7.7.13) для G(r, t) подставить в (7.7.4), то для S(x, и)
получим
S(x, со) = 6 (со) | Jехр(/х • r)p(r)tf3r| +
+ f ехр [i (х • г - (c)*)] G' (г, t) d*r dt. (7.7.14)
Первый член в этой формуле описывает упругое рассея-
ние (и = 0), второй - неупругое рассеяние. Таким образом, для
исследования динамических свойств кристаллов требуется знание функции
G'(r, /).
Для систем, которые можно считать состоящими из отдельных частиц, функция
G(r, t) естественным образом распадается на две части - на функцию Gs,
описывающую корреляцию положений одной частицы в различные моменты
времени, и на функцию Gd, описывающую корреляцию положений двух частиц.
Выраженные через эти функции дифференциальные сечения коге-
352
Глава VII
рентного и некогерентного рассеяния системой ядер могут быть записаны в
виде
где длина рассеяния а зависит от спинового и изотопического состояния
ядра, а скобки ()Ср обозначают усреднение по этим состояниям.
Вспоминая смыел функции G'(r, t), можно с помощью (7.7.13) и (7.7.15)
получить выражение для дифференциального сечения неупругого когерентного
рассеяния
Аналогично дифференциальное сечение неупругого не-когереитного рассеяния
можно получить, вычитая из функции Gs(r, t) в формуле (7.7.16) ее
асимптотическое выражение при UI оо.
После этих общих замечаний мы возвратимся к применению полученных
результатов к задаче о рассеянии тепловых нейтронов колебаниями решетки.
Рассмотрим решетку с одним атомом в элементарной ячейке. Ядра в кристалле
локализованы в точках х(/)+и(/). Для каждого вектора решетки х(/),
включая начало координат х(0)=0, определим парную функцию распределения
G(x(/), t) для частиц, положения равновесия которых находятся в точках 0
и х(/). Через эти функции можно зыразить G и Gs:
Так как все ядра нашего кристалла эквивалентны друг другу, из формул
(7.7.6) и (7.7.7) получаем
С?(х(/); г, Ю = /rf3xexp[- А*-(г- х(/))]Х
Х(ехр[- i* • и(0; 0)]ехр [/х • и(/; *)])• (7.7.19)
TJ ехр[/(х-г -ш*)]Х
ХО,(г, t)dhdt, (7.7.16)
'СР 2лй ку
ШГп/ехР I* (* ¦ г ~ (г' Q d3f dL
(7.7.17)
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 353
Воспользуемся теперь теоремой Бейкера - Хаусдорфа еАев =е^л+в)^и)[А,в\
(7.7.20)
и перепишем (7.7.19) в виде 0(х(/); г, /) = /d3*exp[- /х • (г - х(/))] X
Х(ехр[/х-(и(/; /) -
- и (0; 0))]) ехр [у [* • и (0, 0), х • и (/, /)]]; (7.7.21)
при этом мы учли, что коммутатор операторов х*и(0, 0) и х*и(/, t) есть с-
число. Указанное усреднение можно выполнить с помощью (7.2.24), и в
результате получаем
0(х{1)\ г, 0= (2й)Г/d3*ехр [- /х • (г - х(/))] X X ехр [-1 ([х. (и (/, 0-
и (0, 0) )]2>] X
X ехр [у [х • и (0, 0), х • и (/, 01] • (7.7.22)
Так как коммутатор во втором экспоненциальном множителе равен с-числу, мы
можем формально заменить его средним по ансамблю начальных состояний.
Объединяя оба экспоненциальных множителя, получаем
О(х (/); г, 0 = -(2^ /<*3хехр[/х-(г - х(/))] X
X ехр Г-2 Wo" (0, 0) - Mad (/, 0] . (7.7.23)
L a. р J
где
Afoo(/. = t) = (lla(О, О)щ(1, t)). (7.7.24)
Интеграл по x легко вычисляется с помощью известной формулы 00
J ... f ехр (-j xAx+gx) dxx... dxn =
23 Зак. 1491
354
Глава VII
