Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мандельштам Л.И. -> "Лекции по колебаниям" -> 75

Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям — Академия наук СССР, 1955. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipokolebaniyam1955.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 160 >> Следующая

AA2) ¦/)".
Заметим теперь, что на основании (5)
wi {Л -4- Нкх) - а -4- hklt (А -4- Нк2) - а -ь hk2; <0* (Н -4- Вкх) = А -
4- bkv (И -+- Вк2) = А -4- Ькг.
Сложим уравнения первого столбца, умножив предварительно второе на кх:
(Л -4- 2Нкх -4- ВЩ) = а -4- 2hkx -+- Ък\.
(15)
240
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Сложим теперь уравнения второго столбца, умножив предварительно второе на
к.г:
(А -4- 2Нк2 -4- Вк'0 = а-4- 2hk., -4- Ък':,. (16)
Если же проделать аналогичную операцию, но умножая на к, и вместо кл и
к2, то получим еще:
(17)
(•'; [А-+-Н(к1-+- к2) -ь Вк^^ - a -f- A {ki -4- к2) -+- 6^1^2;
<">2 [А -4- Н{кг -+- к.2) -4- Вкгк2] =а -4- h(k1-+- к2) -+- Ькхк2.
При =7^= ы| из (17) следует, что
А -4- Н(к, -4- /t2) -4- = О,
а -4- A (&J -4-/<3) -4- 6&t&2 = 0.
Следовательно, выражения (14) не содержат членов с произведениями и ?">1
и имеют вид
Т = А-^- А2уг ,
U - -I а2п2,
причем
flj a do о
С4Г <rtl'
В системе координат (с tj) нет ни силовой, ни инерциальной связи. Мы
показали, что подходящим выбором обобщенных координат всегда можно
привести обе квадратичные формы (14) к каноническому виду (18), т. е.
привести их к суммам квадратов. Координаты с, и т, называются нормальными
координатами.
Уравнения Лагранжа в новых обобщенных координатах
d / дТ\ dU п d /дТ\ dU п
а("") "4 = 0,
А]'с~^ а^ - 0;
dt
имеют вид
Алк -4- а,Е = 0:1
(19)
АоУ -4- а"г, = 0.
В одно из них входит только обобщенная координата в другое - только
обобщенная координата yj.
ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
241
Уравнения (19) имеют общее решение:
?х = Са cos ч- аа), г) = С2 cos (ы2? ч- х2),
где Wj и ы2 - нормальные частоты. Согласно (13)
х - Сг cos (wjf ч- ах) ч- С2 cos (м2# ч- а2), у - cos (<o1# ч- ах) ч-
&2С2 cos (co2f ч- а2).
(20)
Таково выражение общего решения в исходных координатах х,у. Мы могли бы
его написать сразу (не переходя к нормальным координатам ? и г) как сумму
двух частных решений вида (4).
Сформулируем физический смысл уравнения (20).
Каждая из координат х и у совершает, вообще говоря, сумму двух
гармонических колебаний с различными нормальными частотами и ы2.
Частоты эти задаются самой системой (видом кинетической и потенциальной
энергии). Самой системой задаются также отношения кг и к2 амплитуд
каждого нормального колебания в обеих координатах (эти отношения могут
быть как положительными, так и отрицательными). Сами амплитуды и фазы
задаются начальными условиями. Каждое из гармонических колебаний имеет в
обеих координатах одинаковую фазу.
Циклические координаты. Решение уравнений для линейной системы с двумя
степенями свободы (без трения). Нормальные колебания, их частоты и
распределения. Нормальные координаты. Нормальные частоты как экстремумы
отношения двух квадратичных форм. Разделение системы на пар-
описывающих движение системы с п степенями свободы недоступно. Но мы
рассматриваем движение системы с п степенями 16 Л. И. Мандельштам, том IV
ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
(25/11 1931 г.)
циальные системы
Вообще говоря, интегрирование системы уравнений
242
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
свободы, находящейся вблизи устойчивого состояния равновесия. При этом
дифференциальные уравнения приобретают сравнительно простой вид:
2 (bncqic-i-aikqk) = 0 (г = 1, 2, ..., л). (1)
к
Это - система п линейных однородных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами. Такая система легко интегрируется (по крайней
мере в общем виде).
Теперь предпочитают работать с индексами. Для сложных систем это гораздо
нагляднее. Но для случая системы с двумя степенями свободы мы
воспользовались такими обозначениями:
ап= а> а12-^22-
bn = A, А]2 = Н, А22 - В,
т. е.
2 Т=Ах2 + 2Нху -+- By2, |
2U - ах2 -+- 2hxy -+- by2, j ^
Дифференциальные уравнения (1) записываются при этом так:
АхНу л- ах hy ~ 0,1 Hx + By + hx + by = 0. }
Рассмотрим тот частный случай, когда одна из координат (скажем, i/) не
входит в выражение потенциальной энергии (этот случай часто встречается
на практике). Тогда
Л = О, 6 = 0.
Координата, не входящая в выражение потенциальной энергии, носит название
циклической.
Если у - циклическая координата, имеем:
Нх -+- By - 0,
[А - х-л-ax - Q.
Для координаты х получается такое же уравнение второго порядка, как для
системы с одной степенью свободы. Существуют, таким образом, случаи двух
степеней свободы, которые сводятся на одну степень свободы.
ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ЛЕКЦИЯ
243
Такова, например, система рис. 97. В электрическую энергию входит только
qly а в магнитную энергию, конечно, входит и qY и q2. Соответствующая
механическая задача: имеется вал с двумя дисками (рис. 98). Этот пример
мы уже рассматривали1. Так можно идеализировать вал с пропеллером и
мотором. Введя в качестве координат углы поворота маховика и пропеллера,
мы можем свести здесь задачу на случай одной степени свободы.
Рис. 97.
Рис. 98.
Если имеется п степеней свободы и т циклических координат, задача
приводится к п - т степеням свободы.
Вернемся к уравнениям (3).
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed