Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
^
Можно ввести понятие парциальных систем1. Мы будем
> Рис 42
называть [парциальными те си-
стемы с одной степенью свободы, которые получаются из данной системы с
двумя степенями свободы при "закреплении" одной из координат, т. е. в
случае рис. 92, а--при разрыве цепи, к которой относится соответственно
координата х или у, а в случае рис. 92, б - при закреплении того или
другого маятника. Математически это означает следующее. Одну парциальную
систему мы получим, положив, что в (1) х = 0 (тождественно по t), другую
- положив аналогичным образом в (1) у = 0.
Для первой парциальной системы имеем:
(2)
Подставляя (1) и (2) в уравнения Лагранжа
0
получаем для нашей системы уравнения движения:
Ах -ь Ну -+- ах -л- hy = 0, )
Hx-t-By л-hx-t-by = 0. }
(3)
и углы отклонения маятников (рис. 92, б) или любые линейные комбинации
этих величин.
1 [П одробнее см. 24-ую лекцию.]
236
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
(л2 - вторая парциальная частота).
Будем искать решение уравнения (3) системы с двумя степенями свободы в
таком виде:
где С, к, со, ос -- постоянные. Движение типа (4) мы будем называть
нормальным колебанием, его частоту со--нормальной частотой.
Подставляя (4) в (3) и сокращая на общий множитель cos {<*>t ч- у.),
получаем систему алгебраических уравнений:
Рассматривая эти уравнения как систему двух линейных уравнений
относительно неизвестной к, напишем условие их совместности:
Это - уравнение, определяющее неизвестную величину со2. Оно называется
секулярным уравнением. Обозначим
О У
<0~ = С
и запишем секулярное уравнение в таком виде:
есть уравнение параболы. Абсциссы точек, в которых она пересекает ось ?,
равны корням уравнения (6), т. е. квадратам частот искомых колебаний вида
(4).
х ¦- С cos (<>>? -+- ос), у - кС cos -+- ос),
(4)
(м2А -- а) л- {сгН- h)k = 0, (<о2Я- h) н- (<.гВ - Ь)к = 0.
(5)
! ы2А ¦- а с.гЯ- h
| м2Я- h <ВВ - Ь \ °'
(6)
А(?) = л1с2 + а2с--нл3.
(?)
Уравнение
ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
237
Развертывая детерминант уравнения (6) и сравнивая с (7), мы видим, что
\ = АВ - Н\ \ = 2hH-aB - bA, ls = ab - h*..
На основании (2)
лг >0, л3 0.
При большом S знак г, совпадает со знаком члена и, следовательно, г
положительно. При ? = 0 имеем
•r\ - F (0) = 13,
и, следовательно, г, здесь также положительно.
Подставляя в (7) значения
5- 9 а *
л ' ;
получаем:
F(s)=-(H
ъ_
В
¦hj< 0; hf < 0.
Итак, парабола пересекает ось абсцисс и имеет вид,
показанный на рис. 93. Корни и уравнения (5) действительны и
положительны, причем
Парциальные частоты лежат между нормальными частотами и - в крайнем
случае - совпадают с ними.
Применим полученные результаты к случаю системы, состоящей из двух
индуктивно связанных контуров (рис. 91). Здесь
2Т= Lxq\ -+- Lzq\ -+- Mqxq.lf
'2 U
Секулярное уравнение
Я1
я\
"с., '
238
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Введем парциальные частоты:
2_ 1 ni~ ~L1Cl '
и обозначим
1
(8>
(9)
М1
Развертывая детерминант и воспользовавшись (8) и (9), получаем:
-(л* А- пг) от н- л:л5- 0.'(10)
(11>
(12)
Рис. 94. Рис. 95.
Введем еще "расстройку11 парциальных частот
Hvl
и величину
z=- п1
(квадрат отношения нормальной частоты к одной из парциальных). Подставляя
(11) и (12) в (10), получаем
С2Г - (1 -t- ?) z -f- \ - 0.
На плоскости (z, ?) этому уравнению соответствует семейство гипербол
(каждая гипербола соответствует определенному значению параметра с). Одна
из таких гипербол изображена на рис. 94. Каждому значению расстройки ?
соответствуют две ординаты: zv z2 (две нормальные частоты). Рис. 94
наглядно показывает, как нормальная частота зависит от расстройки
парциальных систем.
Построенный нами график имеет большое значение при исследовании некоторых
нелинейных систем, например лампового генератора, колебательный контур
которого индуктивно связан с другим колебательным контуром (рис. 95).
Здесь при определенных условиях происходит следующее. Имеет место
периодическое
ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ ЛЕКЦИЯ
239
(незатухающее) колебание, частота которого практически совпадает с одной
из нормальных частот той линейной консервативной системы, в которую
превратилось бы устройство рис. 95 при отсутствии лампы и сопротивлений в
контурах. При изменении расстройки Е частота генерируемого колебания
меняется так, как показано на рис. 96. При E<EEi возможны колебания
только с частотой ш2, при с^>?2 - только с частотой при ?1<С?<С42
в зависимости от истории системы происходят колебания либо с частотой to
j, либо с частотой м2 (явление "затягивания11 - своеобразный гистерезис).
Переход от частоты o>i к частоте ы2 или наоборот происходит скачкомЗ;
Найдя нормальные частоты, мы можем определить из (5) соответствующие
значения отношения амплитуд к. Обозначим их кх и к2.
Введем .посредством уравнений
y=k1E-t-k2n (13)
новые обобщенные координаты с, и -п. Подставив (13) в (1), получаем:
Рис. 96.
(14)
Т = (А -+- 2Нкх -+- Вк\)'е + 2[4 + Н(кх -+- к2) -4- Bkjbfa -0<4 -+- 2 Нк2
-+- BJoi):r)2\
2 hkx -j- bki) <; +2[a + A {kx -+- k2) -+- bkxk^\ Ey --+- (a -f- 2hk2 -i-
