Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
затухания (при малом затухании частоты и формы колебаний изменяются мало)
и применения теории возмущений к количественному расчету неоднородных
1 [См. 8-ю лекцию части П.]
(15)
ОДИННАДЦАТАЯ лекция
443
систем, обладающих малой неоднородностью. Мы не рассматривали также
систем двух и трех измерений (колебания мембран и объемных тел различной
формы), вынужденных колебаний распределенных систем и решений некоторых
специальных задач, приводящих к специальным функциям. Наконец, мы не
исследовали бегущих волн, т. е. вопросов распространения колебаний.
Остающееся у нас время я хотел бы посвятить вопросу о применении
интегральных уравнений к колебаниям распределенных систем.
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
(ЗЦП 1932 г.)
Роль интегральных уравнений для физики. Функция Грина для струны или
стержня; ее зависимость от граничных условий. Функция Грина в теории
потенциала. Свойство симметрии функции Грина. Интегральное уравнение для
динамической задачи о колебаниях струны или стержня.
Симметризация ядра уравнения.
К вопросу о стоячих волнах возможен подход, отличный от того, которым мы
пользовались. Этот подход не является обязательным, но имеет существенное
значение. Речь идет о новой математической трактовке уже рассмотренных
нами физических проблем.
Искомая функция, описывающая колебания распределенной системы,
удовлетворяет не только некоторому дифференциальному уравнению, но и
некоторому интегральному уравнению. Интегральные уравнения не имеют
большого значения в качестве вычислительного аппарата. Их сила не в
вычислительной стороне, а в физической.
В настоящее время нельзя серьезно заниматься колебаниями без знания
интегральных уравнений. Литература по колебаниям пропитана интегральными
уравнениями. В классической книге Куранта и Гильберта1 половина вопросов
рассматривается методом интегральных уравнений. Это - несколько
формальная оценка их значения; можно привести и более существенные
доводы.
1 [Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики. М.-Л., 1951.]
444
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Значение интегральных уравнений заключается в следующем.
Дифференциальное уравнение пишется, скажем, для струны или стержня
вообще, а не для данного индивидуального случая. Для того чтобы
охарактеризовать данную систему, нужно, кроме дифференциального
уравнения, задать еще краевые условия. Между тем интегральное уравнение
содержит в себе описание всего объекта. Интегральные уравнения для
различных условий закрепления различны.
Далее, если взять, например, поперечные колебания стержня, то для них
дифференциальное уравнение имеет вид
Оно существенно отличается от дифференциального уравнения продольных
колебаний стержня
Возьмем двухмерные задачи. В случае мембраны получается дифференциальное
уравнение в частных производных второго порядка, в случае пластинки -
четвертого порядка. Но интегральные уравнения продольных и поперечных
колебаний стержня принадлежат к одному типу. К одному типу принадлежат
также интегральные уравнения мембраны и пластинки. Интегральные уравнения
гораздо лучше отражают единство колебательных систем.
Есть такие физические задачи, которые прямо приводят к интегральному
уравнению1.
В наших колебательных задачах дело обстоит так.1 Известно из физики, что
функция у{х, t), которую мы хотим определить, удовлетворяет
дифференциальному уравнению
и определенным краевым условиям. Можно показать математически, что
функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению и краевым условиям,
удовлетворяет определенному интегральному уравнению. Но есть и другой
путь. Забудем о дифференциальных уравнениях. Можно так построить
физическую задачу, что она непосредственно приводит к интегральному
уравнению.
1 [См. том I, стр. 229 и след.]
ОДИННАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
445
Дифференциальные уравнения - один из видов функциональных уравнений; они
определяют функцию, если даны определенные дифференциальные соотношения.
Интегральные уравнения - другой вид функциональных уравнений. Они
определяют функцию, если дано интегральное соотношение, например, вида
у(х) = { К(х, l)g(r)dl (1)
а
Здесь интеграл есть функция от х. Функции К{х, ?) и д{х) даны, требуется
найти функцию g(c,). Существует ряд физических задач, приводящих к
соотношениям такого вида.
Заранее далеко не ясно, что уравнение типа (1) имеет решение, т. е. что
существует удовлетворяющая ему функция g(c). Поэтому одна из важнейших
задач теории интегральных уравнений - выяснение того, существует ли
решение.
Уравнение вида (1) называется интегральным уравнением с постоянными
пределами. Часто мы приходим к другому типу интегрального уравнения:
д(х) = 1 J К(х, с) у 0 d\ +- /(*). (2)
а
Здесь, в отличие от (1), искомая функция входит не только под знаком
интеграла. Уравнение вида (2) называется интегральным уравнением второго
рода или уравнением Фредгольма. Если
/(*) = О,
то мы получаем однородное интегральное уравнение второго рода. Функция
К(х, ?) называется ядром интегрального уравнения.
