Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Итак,
^ ^
а величины Х^ и X" легко вычислить.
Рассмотрим далее такую задачу. Дано дифференциальное уравнение (8), но
граничные условия не даны. В каких пределах лежат собственные значения?
Воспользуемся тем, что наибольшая частота получается при закреплении
концов. При обоих закрепленных концах мы имели бы в случае, если вместо
q(x) плотность была бы равна т2,
_ (п 1р ТГ2
л,' Рт*
Следовательно, в интересующей нас системе
440
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Воспользуемся теперь тем, что наименьшие частоты получаются при свободных
концах (надо только иметь в виду, что при этом наименьшее 1 равно нулю).
Для свободных концов мы имели бы в случае, если бы вместо q (х) плотность
была равна М2,
п2к2
к " ГШ2 •
Следовательно, для произвольных граничных условий
П27Г2 ^ ^ (п -+-1)2 к2 РМ2< Хп< /2т2 •
Эти неравенства дают хорошую оценку и в тех случаях, когда функция q(x)
изменяется в небольшом интервале.
Если закрепить систему в середине, она распадается на две независимые
половинки. Естественно предположить, что частоты при этом увеличатся. Для
постоянной плотности это ясно; но так ли это, если плотность растет с х?
Правая система короче исходной, но средняя плотность ее больше. Что
побеждает - наперед сказать трудно. Существует теорема, на основании
которой сразу можно сказать, что будет повышение частоты1.
Мы решили очень интересную для физики задачу, записывающуюся в виде
схемы:
*>?)=*?> <9>
(".г-зДД^О; (10)
(^*Р.Й), = 0- (11)
Вспомним физический смысл граничных условий (10) и (11). Для стержня они
означают, что концы связаны с неподвижными точками через пружины, для
электрической системы - что на концах включены емкости. Таким
образом, мы охватили случай, когда
на концах находятся резервуары потенциальной или электрической энергии.
С точки зрения физики случаями того же класса являются те, когда вместо
конденсаторов на концах включены катушки самоиндукции, вместо пружин к
концам прикреплены массы, т. е.
1 [ Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики, т. I, гл. VI,
§ 2. М.-Л., 1951.]
ДЕСЯТАЯ ЛЕКЦИЯ
441
случаи, когда на концах имеются резервуары кинетической или магнитной
энергии. Между этими случаями и прежними нет существенного физического
различия.
Дифференциальное уравнение (9) здесь сохраняется, но граничные условия
получаются другого типа.
Рис. 175.
Пусть на конце стержня укреплена масса М (рис. 175). Тогда при х - 1
имеем условие
М%=-Р(1)-(12)
отличное от (11): вместо члена с у имеется член с d2yjdt2. Если
подставить в граничное условие выражение
z/=<p(x)cos \jlt,
то получится:
Ц(1)-р(1)?(1) = 0.
Отличие от (11) в том, что, во-первых, здесь перед pf' стоит знак минус,
и, во-вторых, в том, что в граничное условие входит параметр 1. Таким
образом, случай массы на конце не охватывается той теорией, которая была
изложена. В этом есть известная неудовлетворительность.
Рассмотрение новой задачи дает для собственных значений результаты,
совпадающие с полученными прежде. Но для собственных функций получается
отличие; здесь собственные функции разного номера не ортогональны между
собой.
Однако это отличие исчезает при другом выборе переменной. Если вместо
задачи для заряда (или тока) и смещения рассматривать задачу для
электрического или механического напряжения (или деформации), то мы
получим при граничных условиях нового типа прежнюю задачу - задачу
Штурма-Лиувилля.
Введем в уравнение (9) переменную
Ъ /1 о\
442
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Мы получим при этом:
1 dz д^у
(14)
Продифференцируем это уравнение по х:
Мы получили для z уравнение того же типа, что для у, но с другими
входящими в него заданными функциями. Однако если р и q положительные
функции, то 1/р и l\q тоже положительны.
Как ведут себя при преобразовании к z граничные условия? Подставляя в
(12) соотношения (13) и (14), получаем:
По отношению к z тип граничных условий - тот же самый, что был раньше по
отношению к у: в (15) не входит вторая производная по t, подстановка <р
(л) cos \/1 t не приведет к появлению в граничных условиях параметра 1.
Здесь получатся ортогональные собственные функции и будут иметь место все
свойства, полученные раньше для у. Таким образом, имеется некоторого рода
дуальность между задачей о величине у при граничных условиях типа (11) и
задачей о величине z при граничных условиях типа (15)-
Если на концах имеются и емкости и индуктивности (и пружины, и массы),
задача не может быть сведена к уже рассмотренным, хотя перейти к этому
случаю принципиально несложно. Часть доказанных нами теорем здесь
неприменима. Здесь уже ни при каком выборе переменной собственные функции
не будут ортогональны в обычном смысле, а будет иметь место только
нагруженная ортогональность *.
На этом мы закончим изложение основных отделов курса, хотя мы рассмотрели
далеко не все вопросы, важные для физики и для техники. Перечислим
некоторые из них. Мы не касались поведения распределенных систем с учетом
