Оптический производстенный контроль - Малакара Д.
Скачать (прямая ссылка):
Первые г коэффициентов разложения Фурье определяют, обычно используя следующие соотношения ортогональности:
Л" N
2л г і 2л г] 2 Vl • 2я ri . 2л г j Cns--ens -— =- % Rin- Sin -—.
у COS--COS -— =- > , Sin- Sin -= U;/,
ArJ JU N N N N N
(13.8)
iV
2 Vl 2л ri . 2л г] г.
- > COS-Sill -— — О,
N N N
Г=1
которое совместно с уравнением (13.7) приводит к получению выражений вида
N N
Or = -Xy Ii COS 2 г kl,; br=— V I; Sin 2 г kl,. (13.9)
N ли 1 1 ' N ZA 1 1 j=i і-1
Здесь I1 = I (х, у, Ij); lf=jKI2N; /= 1, 2, ..., N, a N — число отсчетов (выборок) в пределах периода или полосы. Для интерферометра Тваймана—Грина, в интерференционной картине которого присутствуют полосы только первого порядка, рассматриваются лишь коэффициенты с г= 1. Коэффициенты более высоких порядков представляют собой шум вне интересующей нас области. Если полосы не искажены шумом и соответствуют уравнению (13.1), то из (13.9) получим
а0 = 1, (Z1 = Y cos 2kw (х, у);
bl = Y sin 2kw(x, у), ar = br = 0, r> I. (13.10)
Разложение Фурье наилучшим образом аппроксимирует профиль интерференционной полосы с точки зрения метода наимень-
324' ших квадратов, а в терминах теории связи оао сиоые»*ЛБ>а _,з;;о-полосному фильтру первой гармоники. Фаза интерференционной картины, как и ранее, получается из соотношения двух средневзвешенных величин
1
w(x, г/)=-тг-tg"1 — 2k ?j
(
-L-tg-J
2k S
N
2 Vl
-7Г 2uf *sia 2kl< j=i_
JV
Tі
(13.11)
Таким образом, относительная фаза волнового фронта га(х, у) в точке (х, у) вычисляется по результатам N измерений интенсивности интерференционной картины в заданной точке при N различных значениях I.
Фазы членов высших порядков для многолучевых интерферометров и интерферометров Фабри — Перо определяются аналогично вычислением арктангенса отношения коэффициентов высших порядков Ьг и аг, а двухмерный профиль получают из уравнений (13.7) и (13.9).
Сканирование интерференционных полос может осуществляться несколькими различными путями [3, 5, 18], но оно должно проводиться на одном или нескольких полных периодах из уравнения (13.1), на которых осуществляется наблюдение интенсивности интерференционных полос. В спектрометре Фабри — Перо сканирование можно проводить изменением температуры, давления или непосредственно длины оптического пути, но и в этих случаях оно должно соответствовать свободному интервалу спектра или периоду полос. Особенно успешно синхронное детектирование было использовано при выделении очень низких уровней астрономического спектра [8].
Обычно рекомендуется вычислять предполагаемую погрешность, вызванную влиянием флуктуационного шума, видимостью полос и длительностью получения или объемом данных в процессе синхронного детектирования. Эта задача аналогична определению фазы синусоидального электрического сигнала в присутствии гауссова аддитивного шума с помощью положений теории связи.
Если в уравнение (13.2) добавить слагаемое n(t), соответствующее гауссову шуму, и подставить его в уравнение (13.11), то фазу ф можно определить из выражения
^tg-1 Я/И+ у), (13.12)
где нулевая фаза выбрана произвольно. Фаза ср соответствует гауссову шуму, наложенному на идеальный сигнал с постоянной фазой, равной нулю, что дает возможность рассматривать ф как фазовую погрешность, вызванную шумом. Случайные величины А и В являются коэффициентами Фурье первой гармоники шума n(t):
A = -^ V я, Cos^; B = J- У п. sin , (13.13) N^Zj ' N N Zj 1 N
j~\ j=і
а у — контрастность полос. Было показано [1], что плотность вероятности фазы ф, вызванной гауссовым шумом, определяется зависимостью
<7(?) = ^5-[I + l/nae*2(l + erfa)], (13.14)
где
^ = Y2/(232); (13.15)
a = s cos?. (13.16)
Здесь I2 — квадрат отношения сигнал/шум; у — синусоидальная амплитуда; а2 — дисперсия А я В (а — среднее квадратическое или стандартное отклонение). Дисперсии А и В одинаковы и связаны с дисперсией шумового источника n(t) простой зависимостью [17]:
a2 = (2/N)-J. (13.17)
По определению, интенсивность отношения сигнал/шум
52=у2/(2з2). (13.18)
Подставляя уравнения (13.17) и (13.18) в (13.15), получим связь объема выборки и шумовой флуктуации с плотностью вероятности через коэффициент
P=N S2 ft. (13.19)
Распределение из уравнения (13.14) показано на рис. 13.2 для различных значений параметра Два предельных случая нуждаются в комментарии. Если отношение сигнал/шум стремится к нулю, <7(ф) становится статически неопределенным, так как
(13.20)
S->o 2 it
и все фазы равновероятны. Более того, при и <р<С1 имеем
^«(-^^Y^'V^v/z), (13.21) \ 2л }
что представляет собой гауссово распределение с нулевым средним и стандартным отклонением
^=XI(VNS). (13.22)
Этот удивительно простой результат является полезным указателем средней квадратической погрешности фазы при условии не-
326
Vnc. 13.2. Зависимость плотности вероятно- Рис. 13.3. Накопленная вероятность фазовой
сти для синхронно детектируемой фазы как погрешности как функция шумового члена
