Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, в приближениях (60.8) сг~ Т~? при низких температурах и
сг~7'"1 при высоких температурах (по сравнению с температурой Дебая).
Этот результат находится в "согласии с результатами опыта, приведенными в
начале параграфа.
На рис. 62 нанесено приведенное сопротивление р (Т^/р (вв) = = о (Qd)/o
(Т) как функция от температуры для некоторых простых металлов. Хотя
температурная зависимость а~ 7'-575~1 (71) выполняется (соотношение Блоха
- Грюнайзена), но эти результаты непригодны для общей теории явлений
переноса в металлах. Уравнение (60.7) дает функцию распределения только
для случая одного внешнего электрического поля. Если наряду с Ех в правой
части (60.6) появляются температурные градиенты или магнитное поле, то
провести метод итерации невозможно (ср. с приведенным ниже).
z6dz =л:4/4 для малых х,
(bU.o)
(ег-1) (1-е г) j =const для больших х.
"60]
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
235
Формально из с можно выделить время релаксации. Положив c = -
(efi/m*)Exт, получим для (60.6)
й) dt/ст
.df о
'-k - - ' дЕ х х
f-f о
Это время релаксации, пригодное только для вычисления а, бесполезно. Для
температурного интервала T^>QD, напротив, можно определить время
релаксации, пригодное во всех случаях.
В этом температурном интервале в (60.5) можно разложить подынтегральную
функцию по степеням ~z = Qd/T и разложение оборвать в начале.
Тогда удается провести интегрирование и получается решение
гдГ\
Ml'
4т'
f-f о
Т (?) 1 .-1/2^3/2 0^
Т
е%
х (?)~
7>0д
(60.10)
Рис. 62. Удельное электрическое сопротивление некоторых металлов как
функция температуры (в относительных единицах, 0д- температура Дебая) и
теоретическая кривая по уравнениям (60.7), (60.9) (соотношение Блоха -
Грюнайзена). (По Блатту [57.4].)
(ход решения см. опять у Вильсона [33]). Это выражение отличается от
^полученного из (60.7), множителем Е3/2, который вошел в (60.7) вместо
'?3/2.
Для проводимости оба выражения дают одно и то же, так как электроны,
ответственные за электропроводность, лежат вблизи уровня Ферми и
соответствующая энергия Е как раз равна ?. Формально это вытекает из
(60.9). Если заменить, как выше в (60.9), с на -(eh/rn*) Ехх(Е), то
получится
o = ^Ex(E)z№(-d^)dEK^l т(?)*(?). (60.11)
При этом было использовано то, что распределение Ферми при Е = ? резко
падает и, следовательно, его производная (отрицательная) по энергии при E
- Z, имеет максимум типа 6-функции. Используя (5.7) и (6.12), наконец,
получаем'общую формулу:
а = е^пх{Ъ). (60.12)
236
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГГЛ. VIII
Выразив электропроводность через заряд, концентрацию электронов и
подвижность, получаем для подвижности выражение |л = = ет(?)/т*. По
(60.10) температурная зависимость электропроводности, подвижности и
времени релаксации -Т-1.
Другой результат получается для разреженного электронного газа. Здесь для
интеграла в (60.5) пределы интегрирования задаются через (60.4). Этот
случай особенно интересен для полупроводников. У них настолько мала
концентрация электронов, что в качестве дальнейшей аппроксимации
распределение Ферми может быть заменено распределением Больцмана (ех
вместо" 1/(е* + !))¦ Это дает возможность получить одно решение уравнения
(60.5) практически для всего температурного интервала. В результате время
релаксации получается зависящим от ^энергии и температуры ~ E~1/s Т"1.
В этом случае электропроводность не определяется по формуле (60.12). Из-
за предположения о больцмановском распределении интеграл в левой части
(60.11) будет равен
Из-за вышеназванной температурной зависимости времени релаксации и г (Е)
~ Е1/г электропроводность получается пропорциональной exp (?/kBТ). Если к
этому добавить температурную зависимость концентрации разреженного
"электронного газа, известную из § 6 (п ~ Ts/2 exp то для подвижности в
полупро-
водниках, при взаимодействии электронов с ?Л-фононами, вытекает закон Г-
3/2.
Мы уже отмечали выше, что метод итерации, который привел к выражению
(60.7), ограничен случаем, когда внешней силой является только
электрическое поле. Если, наряду с электрическим полем, появляются другие
внешние силы, то при низких температурах, т. е. в случае, когда из (60.5)
нельзя определить время релаксации, надо использовать вариационный метод,
рассмотренный в § 54. Мы здесь приведем ход решения для случая
электрического поля и температурного градиента, когда оба направлены по
оси х.
Запишем столкновительный член (60.5) в виде -kxE~3/2Lc(E), где L-
интегральный оператор, определяемый из (60.5), который действует на c(E)
= - (f-f0)/kx(dfe/dE).
Уравнение Больцмана с учетом (53.9) и (53.10) тогда будет
а =
3 m*kpT
а _ь____ i _ g
|~fe k"T \ Ex{E)z(E)& квтdE. (60.13)
о
ag E-i&r
дх' T dx
"j E*l\ (60.14)
В качестве решения используем разложение по степеням Е с неопределенными
коэффициентами, кото; ые мы определим вариа-
$ 60] ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ 237
ционным методом. Наши расчеты упростятся, если мы представим с(Е) в виде
