Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Напротив:
р |i + divw5 = S. (56.6)
Входящую сюда плотность потока энтропии ws мы определим из уравнения
ws=y-{w-ZJ). (56.7)
Мы сопоставляем ps и ws друг с другом, как сопоставлены и и w или п и /
Подстановка (56.3), (56.5) и (56.7) в (56.6) приводит для локального
образования энтропии к выражению
S = 1. {у (К-Тgrad Щ + w } . (56.8)
Внешними силами являются силы Лорентца электромагнитного поля К- - e(E +
(l/c)vxB). Однако мы видим, что в (56.8) из-за скалярного произведения j-
К и скорости (r)(||У), входящей в К, пропадает магнитная часть силы
Лорентца. Остается только -еЕ.
В (56.8) "потоки" j (плотность потока частиц) и w (плотность потока
энергии) связаны с силами (градиентом электростатического
220
ЭЛЁКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАЙМОДЁЙСТВЙЯ [ГЛ. Vlll
потенциала, химического потенциала и температуры). Термодинамика
необратимых процессов постулирует, что всегда, когда локальное
образование энтропии представляется как сумма произведений "потоков" и
"сил", эти потоки и силы связаны между собой линейно:
В изотропном случае Lih-скаляры. Если магнитное поле выделяет
преимущественное направление или если рассматриваемое твердое тело
анизотропно, то Lik превращается в тензоры. В общем случае
Эти уравнения могут быть распространены на случаи разных носителей
заряда, как-то: электроны и дырки в полупроводниках. Тогда член Zjn в
(56.3) надо заменить суммой по химическим потенциалам разного сорта
носителей заряда, помноженным на их концентрацию.
Соответственные преобразования надо провести и в последующих уравнениях.
Тогда при п сортах носителей будут существовать /г + 1 уравнений переноса
с п+1 членами. Lik образуют (/г+1)Х(п+1)-матрицу. В анизотропных твердых
телах Lik сами являются тензорами. Получается 3(п+1) уравнений переноса с
соответствующим большим числом членов. Во всех этих случаях также
справедливы соотношения Онзагера. Система уравнений (56.9) не является
единственной возможностью сформулировать уравнения переноса. Комбинации
уравнений позволяют ввести другие потоки, или с помощью преобразования
уравнений можно перейти к другим силам. Если потоки и силы выбраны так,
что локальное образование энтропии остается суммой произведений новых
потоков и сил, то сохраняется и симметрия уравнений переноса,
определяемая соотношениями Онзагера.
Выясним теперь, какие другие потоки представляют интерес. Из (56.8) тогда
легко найти относящиеся к ним силы. Переход от плотности потока частиц к
плотности электрического тока при помощи перемножения у и е тривиален.
Напротив, определение плотности потока энергии не очевидно. В
рассмотренных уравнениях w-плотность потока, соответствующая внутренней
энергии и. Она не содержит вклада внешних сил, в нашем случае-
электрической энергии. Если мы определим плотность полной энергии как
р"полн = Ри - епсР> т0 плотность потока энергии будет
(56.9)
Lib(B) - Lbi(-В) (соотношения Онзагера). (56.10)
ВДполн = ЗД-ел>.
(56.11)
§ 56] УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА (КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ)
221
Этому соответствует уравнение непрерывности
р + div ге>полн = -eEj~e<р |р-div(q/<p). (56.12)
При учете (56.4) и Е = - gradcp правая часть этого уравнения пропадает.
Тогда оно представляет собой закон сохранения полной энергии.
С величиной ">полн соотношение (56.8) приобретает вид (одновременно мы
заменяем плотность потока частиц на плотность электрического тока)
где опять введен электрохимический потенциал т) = ?-еср. От этого
выражения легко перейти к другому, в котором как действующие силы будут
стоять только градиенты электрохимического потенциала и температуры.
Определим еще, по аналогии с термодинамическим соотношением ds = dq/T,
плотность теплового потока wq как ws = wq/T. Тогда (56.8) будет
с коэффициентами (тензорами) Nik, для которых опять справедливы
соотношения Онзагера. При этом мы связали плотность тока i и плотность
теплового потока wq с действующими силами, названными в начале этого
параграфа.
Уравнения вида (56.15) легко получаются из (55.1) и (55.2), если
подставить возмущенную функцию распределения в приближении времени
релаксации (53.13). Если в интегралах (55.1) и
(55.2) / заменить на /0 и б/, то, очевидно, исчезнет вклад от /0, так
как плотности тока в равновесии равны нулю; б/, по (52.14) и (53.13),
имеет вид суммы членов
2 = / grad + wnojm grad ~ , (56.13)
(56.14)
Этому соответствуют уравнения переноса
(56.15)
(56.16)
где А равно одному из векторов: grad rj, gradT, fix grad r|, В {В- grad
r|), fix grad T или В (В -gradT).
Мы получим, следовательно, интегралы вида
222
элёкТРОн-фоНоннЫе взаимодействия tfji. Viii
В изотропных твердых телах, т. е. когда (c) = (l/A)gracb.E не зависит от
направления, в интеграле можно провести усреднение по направлениям v. Это
дает вместо v (vA) в .подынтегральной функции (у2/3) А. Тогда
$8т-(-м)гМат*А- (56Л8)
Для i получается в общем виде / = grad - J + а12 grad Т + х grad ^ +
+ P12S X grad Т + упВ^В grad j + у1гВ (В grad Т) =
- [ап + Ри^Х + yltB-В\ grad-y +
