Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
тогда получится
(13.16)
При резонансной плазменной частоте со^ вещественная часть диэлектрической
проницаемости (со) превращается в нуль. Из определения диэлектрической
проницаемости в (13.11) это означает, что даже бесконечно малое внешнее
возмущение вызывает сильные внутренние поля: в электронном газе возникают
коллективные колебания.
Таким образом, мы получили из (13.12) плазменные колебания и возбуждения
пар в согласии с рис. 15.
В заключение рассмотрим экранирующее поведение электронного газа. При
этом можно ограничиться статическим случаем, т. е. положить со равным
нулю.
Начнем с приближения для малых q. Энергию и функцию распределения мы
разложим следующим образом:
Е {k + q) = E{k) + q-gvadkE+ .
fo{k+q) = fo{k)+^iq-&adkE.., (13Л7)
и получим
к
~l+^$dTkz(k)6(E-EF) = l+2?z{EFf. (13.18)
Заменим еще в (13.18), согласно (6.12) и (5.7), z(EF) на ЕР и п, тогда
получится окончательно
M",0)=l+^g=*l+?. (13.19)
Для обсуждения этого выражения примем, что потенциал электрона Vjj),
находящегося в точке г=0, равен Ka(r) =-e3/r (Va(q) = = - 4яё*/Уед2).
Тогда по (13.11), (13.19), (11.2) и (11.3) получим
V{q) = - и Т0ГДа F(r) = -^-е-Ч (13.20)
Заряд, таким образом, оказывается экранированным экспоненциально.
Константой экранирования является К. Этот результат ограничен малыми q.
Для произвольных q вместо (13.18)
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
69
получается выражение 4яе2
ei {Q, 0) = 1 ¦
4г\
In
1-Г]
}• ""i-
(13.21)
Это выражение мы здесь не будем обсуждать более подробно. Мы не будем
также останавливаться на дальнейших приближениях для е(</, со). По всем
этим вопросам, которые приводят к бо^ее глубокому пониманию электрон-
электронного взаимодействия, мы отсылаем к литературе, в особенности к
монографиям: Киттель [12], Пайне [16] и обзорной статье Резибуа в [49].
Глава IV
ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ.
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛЕ
§ 14. Введение
Основой этой главы является одноэлектронное приближение уравнения (3.20).
Это уравнение описывает электрон в периодическом потенциале. Наряду с
потенциалом ионов решетки в периодический потенциал входит усредненный
кулоновский и обменный потенциалы приближения Хартри -Фока.
Основное обсуждение будет касаться симметрии кристаллической решетки и ее
влияния на вид собственных значений и собственных функций уравнения
Шредингера (3.20). Важнейший результат будет состоять в том, что
энергетический спектр одноэлектронного состояния распадается на полосы,
между которыми лежат области запрещенных энергий (зонная структура
энергетического спектра).
Появление таких энергетических зон может быть понято с двух точек зрения.
При объединении свободных атомов в кристалл дискретные уровни этих атомов
распадаются на группы термов, которые и образовывают энергетические зоны.
Или же: непрерывный энергетический спектр свободного электронного газа
под действием периодического потенциала решетки разбивается на
характеристические энергии, так как электроны с заданной энергией (и с
заданным импульсом) при прохождении через решетку претерпевают
брэгговское отражение. Оба способа описания, исходящие из сильно
связанного или из свободного электрона, приводят к зонной модели твердого
тела.
Мы выберем второй способ описания в соответствии с рассмотрением
свободного электронного газа в гл. II, III.
После обсуждения важнейших симметрий кристаллической решетки в § 15 и
формулировки уравнения Шредингера для зонной модели (§ 16), в § 17 мы
рассмотрим "свободный" электронный газ, который, однако, испытывает
брэгговское отражение. При этом мы введем важнейшие способы описания ^-
пространства,
§14]
ВВЕДЕНИЕ
71
обратную решетку и ее зоны Бриллюэна. Общее рассмотрение периодичности
решетки и трансляционной инвариантности оператора Гамильтона приводит к
определению функции Еп(к) зонной структуры и к -разным возможностям
представления этой функции в ^-пространстве.
Эти результаты мы используем в § 19 для описания зонной структуры
электронного газа в слабом периодическом потенциале. После того, как мы
получили представление о значении зонной модели, мы в § 20 изучим общие
свойства функции Еп{к). Мы увидим, что решения уравнения Шредингера для
электрона в периодическом потенциале описывают квазичастицы (электроны в
кристалле, или блоховские электроны). Влияние периодического потенциала
включено в свойства этих квазичастиц. Для динамики электронов в
кристалле, т. е. для их движения под действием внешних сил, это означает
следующее: вместо того, чтобы рассматривать движение отдельных электронов
под действием комбинации внешних полей, кристаллического потенциала и
куло-новского взаимодействия, вводится понятие электрона кристалла.
Последний испытывает влияние только со стороны внешних сил, реагируя как
квазичастица с эффективной массой т*(Е) и связью между энергией и
импульсом, заданной зонной структурой. Во всех остальных отношениях,
однако, квазичастица реагирует на эти силы как свободный электрон. Это мы
