Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Vr(r, i). Часть Vt описывает экранирующее действие электронного газа на
выделенный электрон. Соотношение между Vа и V может быть определено как
диэлектрическая проницаемость электронного газа. Из дальнейшего будет
видно, что это соотношение зависит от частоты и волнового числа. В
соответствии с этим при настоящем способе рассмотрения мы будем описывать
электрон-электронное взаимодействие с помощью диэлектрической
проницаемости, зависящей от частоты и волнового числа.
Электронный газ в равновесии (индекс 0) мы описываем статистическим
оператором р0 уравнения (6.31). Из (6.32) и (6.33) следует:
H0\ky = -~^ky = E(k)[k>, p"|fc>=Mfc)|fc>, (13-2)
где /0 - распределение Ферми.
При наличии внешнего возмущения, зависящего от времени, H = H0 + V(r, t),
оператор р = р0 + 6р и для р по (6.34) получается
ifi&p | fc> = [Я, p]|fc> = ([#", 6p] + (V, p*])|ft>, (13.3)
причем в правой части (13.3) мы пренебрегли членами порядка l/6p|ft>, как
малыми (линеаризация уравнения (6.34)).
В качестве следующего шага мы построим матричные элементы между двумя
состояниями \k'> и ]fc>. (13.3) будет тогда1)
th<k' |Sp|k> =
= (E (k') - E (k)) <*' | Sp I ft> - (h (k') - h m <k'\V\ k>. (13.4)
x) Учтем, что <k' | tf 06p | J <k' | tf " | k"> <k" | 6p | ft> = 2 <ft' |
**> X
ft" ft''
XE (?")<?" | 6p | ?> = 2] E (ift") <?" I бл [ ?> = ? (?') <A' 16p |
ft>; аналогично
ft"
для <k' |Kp0|fc>. (Прим. ред.)
66 ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ [ГЛ. III
Матричный элемент <ft' \ V\k> есть q-я фурье-компонента потенциала
vq(t) = rJe~Cq'rV(r' Vdx' (13-5)
где <7 = ft' -ft.
В этом месте полезно ввести определенную зависимость внешнего возмущения
от времени. Мы выберем для этого
Va(r, t) = Va (q, со )е'<*'-"0е"', (13.6)
т. е. компоненту Фурье произвольного, зависящего от времени, возмущения.
Множите л ъ**'еа* обеспечивает то, что при t = - оо возмущение равно
нулю, и в дальнейшем, при возрастании времени, оно увеличивается (при
достаточно малом а) адиабатически медленно. В окончательном^выражении мы
тогда5можем стремить а к нулю.
Для экранирующего потенциала Vt и тем самым для самого V мы можем
предположить одинаковую зависимость от г и t. В этом случае и 6р будет
иметь ту же зависимость от времени и из
(13.4) следует:
{E{k + q)-E (ft) -f i% (ico-a)) <ft -f q | 6p | ft> =
= (M* + f)-/.(*)) M*). (13.7)
и Vq(t) будет (Ya{q, со)-f (<7, <о))е_,<в'+а*. Мы до сих пор не
использовали уравнение Пуассона (13.1). Для q-Щ фурье-компо-ненты из
(13.1) следует:
-q*Viq {t) = ~4ne*8nq, (13.8)
где 8tiq мы должны еще связать с матричными элементами бр. Для этого мы
используем тот факт, что по (6.30) концентрация частиц 8n(r, t) задается
выражением
б/г(г0, t) - Sp (б (г - г0) бр) = У] <ft | б (г - r0)|ft'><ft'|6p|ft> =
k9k'
е* |Sp]ft> =
e r
e'>ro 2<k+q i6p I *>=S e!q'r°6n?- (13-9)
e q k q
Последняя строчка в (13.9) дает искомую связь. Выражения (13.7), (13.8) и
(13.9) приводят тогда к
V{ (q, со) = V (q, со) - Va (q, со) =
----h{k+q)~h}k) V{q, со). (13.10) I
Vg<l2YE(k+q)-E(k)-уч ' y '
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
67
Равенство (13.10) связывает фурье-компоненты внешнего потенциала Va{g,
<а) с компонентами пространственного потенциала
V (д, <о). Диэлектрическая проницаемость, упомянутая в начале этого
параграфа, теперь может быть определена из соотношения
Равенство (13.12) называется уравнением Линдхарда для диэлектрической
проницаемости электронного газа. Оно приводит к важнейшим выводам,
которые другим способом были получены в последнем параграфе.
Начнем с того, что разложим диэлектрическую проницаемость на вещественную
и мнимую части. С помощью соотношения1)
еа (g. (r)) = ^ ? (ft (k + g)~ h т s (Е (k + g) - E(k) - /ко). (l з. 15)
Мнимая часть диэлектрической проницаемости связана с коэффициентами
поглощения электронного газа. Из S-функции в (13.15) видно, что
поглощение наступает всегда, когда энергия падающей волны tm равна
разности энергий двух состояний k и k + g. Таким образом, с поглощением
связано возбуждение пар типа, описанного на рис. Зи 15. Здесь также закон
сохранения энергии, обусловленной 6-функцией, ограничивает возбуждение
пар в электронном газе заштрихованной областью рис. 3 и 15. Над этой
областью Йсо> (fi2/2m)(kq)q. Эта область исчезающего поглощения
характеризуется тем, что tiсо больше любой, встречающейся в знаменателе
(13.14), разности энергий Е (k-{-g) - Е (k). В этой области формула
(13.14) может быть легко преобразована. Для этого сумму по k разделим на
две части. Введем в качестве новых индексов суммирования в первой части k
+ g, во второй
*) См. Дополнение IV. (Прим. ред.)
(13.11)
где
(<7, со) = 1 - lira ? а-> 0 vgQ
к
-----' (Ш2)
Е (k-\-q) - E (к) - Ш-ilia
== главн. знач. -
Z
) (13.13)
мы найдем
E(k + q)-E(k)-
/о {.k+q)-fo(k)
(13.14)
k
3*
68
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
1ГЛ. 111
части - к, после чего опять объединим обе части и пренебрежем всеми
разностями энергий между состояниями k-\-q и к. В первом приближении
