Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
потребовало бы представления через эти данные главных значений и
направлений G и F, возможного лишь при конкретном числовом задании
компонент Gst, gst.
Через правый тензор искажений выражается применяемая иногда мера
деформации Генки
H = lnV, V = ехр Н = е^Ч/Gj + е2егКС2 + ege8}7 G3. (10)
Главные значения и первый инвариант меры Генки равны
я*=1п/ё;=1п1>*, /1(н)=1п1/адс;=1п]/-|. (И)
о
Замечание. Собственные векторы es, ts определены с точностью до знака,
если собственные значения Uk тензора U некратные. Поэтому формула (5)
определяет восемь различных ортогональных тензоров, когда все U к
различны, и континуум ортогональных тензоров при наличии кратных
собственных значений Uk тензора U. В соотношении (5) предположено, что
вы-
о
браны какие-либо три собственных вектора ей; собственные векторы tk
тензора V определяются вслед за тем формулой (4.18).
§ 7. Тензоры деформации
В рассмотрение вводится вектор перемещения из отсчетной конфигурации в
актуальную
u = R-г (1)
- отсчетная и актуальная конфигурации неотличимы при и = 0. При этом
условии меры деформации представляют единичный тензор Е, тогда как
определяемые по ним тензоры деформации оказываются нулевыми тензорами.
Это облегчает их линеаризацию при достаточно малых градиентах вектора
перемещений.
о
В'выражениях мер деформаций градиенты места VR, Vr заменяются их
представлениями [см. (3.12)]
VR = Vr + Vu = E + Vu, Vr = VR-Vu-E-Vu (2)
и это позволяет преобразовать выражения мер к виду
" / О \ / О \ ГО ,001
G=U + Vu;-[E + VuTJ = E + 2 e(u) + y Vu-VuT| =E + 2C, (3)
= E-2A, (4) = E -2C',(5) e(u) + y VuT-Vu] =E+2A'.(6)
g = (E-Vu)-(E - VuT) = E -2 e (u) - yVuVu G~1 = (E-Vut)-(E-Vu) = E-2 F =
(e + Vut) * (e + Vu)=E + 2
2
e(u)-у VuT-Vu
24
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
О
Здесь е (и) и е (и) - линейные тензоры деформации (III.2.11) в v- и "^-
базисах
Симметричные тензоры С, А, С', А'- тензоры деформации, С - тензор Коши-
Грина, А - тензор Альманзи. Из определений (3)-(6) следуют соотношения
- ковариантные компоненты С и А, контравариантные С' и А' равны; но это
конечно, различные тензоры, так как С, С' заданы в у-базисе, А, А' в -^-
базисе. Например, контравариантные компоненты С и А равны
По (III. 2.4), (1.14.12), (1.11.4) тензоры вида Vu-VuT преобразуются к
виду
Vu • VuT = (е - Й) • (е -j- й) = е2 -(- е • fi - О • е - Й2 -
= е2 Н-е- Й ф- (е- Й)т - Й2 =е2 - сохе - (со х е)т ф- Есосо - coco. (10)
Здесь Q - кососимметричная часть VuT, со -сопутствующий й вектор. Это
позволяет представить выражения тензоров деформации Коши-Грина и Альманзи
в виде
С = у (G -Е) = у (Gsk - gsk) г'т\ А = -i. (Е -g) =
= (8) С'=у (E-G-1) = y (g* - GSk) ГЛ, A' = у (F - E) =
= l(^*-G**)R,Rft (9)
Qsi __ gSmgtnQ
Аналогично, имея в виду, что
VuT • Vu = е2 -)- со хе -f- (со X е)г + Есо- со - coco, (13)
можно записать выражения С' и А'. Например,
§ 7]
ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИИ 25
В декартовых координатах компоненты С и А представляются формулами
Г -I , ] дик дик а 1 дик дик Лс
С<"> - ^> + ТШг- , Ast~B<st> - у ¦ (15)
Представления в криволинейных координатах составляются по формулам
ковариантного дифференцирования (III. § 5), а в ортогональных
криволинейных координатах - (III. § 7). Компоненты в декартовых
координатах тензоров С', А' имеют
вид
п' о 1 dus ди^ о ,1 dus дщ
C<st> - e<s/>- A<st> = e<st> . у ~dak (16)
(в декартовых координатах нет нужды компоненты вектора и отмечать
нуликом).
Инварианты тензоров деформации. Их несложно выразить через инварианты мер
I k (G) - I k (F), Ik( g); надо степени тензоров до третьей включительно
выразить через степени мер
С=4(0 -Е), C2 = |(G2-2G+E),
1 (17)
C3 = -i(G3 -3G2 + 3G -Е)
и вслед за этим использовать формулы, выражающие инварианты степеней
тензора через его инварианты (1.7.9), (1.7.11). Получаем
и (С) = | [/, (G) - 3], /2 (С) = 1 [7а (G) - 271 (G) + 3], h (C) = |[/s
(G)-/t (G) + /x (G) -1]
и аналогично
I, (А) = | (3 - /, (g)), /2 (А) = 1 [/2 (g) - 2/, (g) + 3], h (А) = ¦§¦ [
73 (g) -j- /2 (g) - /j (g) 4-1].
Обратные соотношения имеют вид
Л (G) ^ 2/j (С) + 3, /2 (G) 4/2 (С) + 4/j (С) + 3,
/3 (0) = 1+2Л (С) + 472 (С) + 873 (С),
/i (g) = 3 - 2/з (A), ;2(g) = 3~4/1(A) + 4/2(A),
78(g) = l-271(A) + 4/s(A)-873 (A).
Более сложны зависимости между инвариантами тензоров А и С. Можно их
получить, используя формулы связи (5.9) между
(18)
(19)
(20) (21)
26 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 1ГЛ. 1
инвариантами мер. Например,
M8)=3-2/,(A)-MS,
так что по (20)
т /д\ h (C)-f-4/a (C)-f-12/3 (С)
li vrt; l+2/i (C) + 4/2 (С) +8/3 (C) •
Громоздкость этих соотношений, как и предшествующих формул, заставляет
предпочесть меры деформаций тензорам. "Вводя перемещения вместо координат
*), ничего не выигрывают, а наоборот теряют в смысле краткости и
обозримости формул" (Кирхгофф).
При жестком перемещении среды (4.22) тензоры деформации - нулевые. Это и
само по себе понятно и, конечно, следует из (4.23), (8), (9).
Линейный тензор деформации при жестком перемещении - отнюдь не нулевой.
