Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
и этим подтверждается индифферентность V
V'=0TV0. (16)
Из определений (2) индифферентного тензора и (II.7.1) изотропной
тензорной функции следует, что значение всякой изотропной функции от
любого'числа индифферентных тензоров есть индифферентный тензор. Конечно,
изотропной может быть и функция неиндифферентного тензора.
§ 16. Объективная производная тензора
Пусть a, Q индифферентны. Их производные по времени, однако,
неиндифферентны, например,
а'= (а-0)'= a-0 + a-0. '(I)
Соотношения, описывающие присущие сплошной среде свойства, должны
единообразно формулироваться во всех базисах - ни один из них нельзя
считать преимущественным. Это заставляет придать понятию производной по
времени от индифферентной величины определение, сохраняющее
индифферентность. Это достигается и не единственным способом.
Используя соотношения (15.7), (15.10) и (15.3), можно преобразовать (1) к
виду
а' = а-О-а-О - Й - а-0 - а-0 - (W' - От-W-О) =
= (а + а • W) • О - а' • W'
и по (15.3) оказывается индифферентным вектор
a = a + a-W-(a'+a'-W')0T-a -W-a, (2)
называемый объективной (индифферентной) производной а по Яуманну - Ноллу.
Аналогично, хотя и более громоздко, вычисление для тензора второго ранга
Q' = (Ot Q O)- =0rQ0 + 0T Q 0 + 0T Q 0 =
-0I.Q.0 + Q.0T'Q0-0TQ0.fi = 0,'Q0-fW'.Q'-- Q'.W'-0T W 0 0T Q 0 + 0T Q 0
OrWO =
= 0T Q 0 + W' Q'-Q' W'-0T W Q-0 + 0T Q W 0
46
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
ИЛИ
Q'-W' Q' + Q' W' = Or (Q-W Q + Q W) О,
откуда и следует объективность производной Яуманна- Нолла тензора второго
ранга
Q = Q -WQ + QW. (3)
Новые определения объективной производной можно получить, включив в
выражение производной Яуманна - Нолла или отбросив в нем индифферентные
слагаемые вида Da, DQ или a-D, Q-D. Например, заменив W его выражением D
- Vv, получим
а = а + а- D - a-Vv, Q = Q - DQ+VvQ+QD- Q •Vv.
Отбросив индифферентные слагаемые, придем к производной Олдройда
а = а -а-Vv, Q = Q + Vv-Q - Q • Vv, (4)
или в другом виде, добавив слагаемые 2а D, 2QD, д д
a = a + a-VvT, Q = Q + VvQ + Q • VvT. (5)
Определение, предложенное Трусделлом, основано на рассмотрении вектора N-
TdO {NdO - ориентированная площадка, Т -индифферентный тензор второго
ранга). По (4) и (10.2.2) получаем
(N -TdO)~ = (N -Т dO)' - N - Т- VvdO =
= N dO • (Т+TV • v-VvT • Т-Т • Vv) (6)
и это позволяет определить объективную производную по Трус-деллу
выражением
Tv = Т + TV • v -- VvT • Т - Т • Vv. (7)
В приведенных формулах точкой над буквой обозначены материальные
производные
a=4r+v'Va- Q = ir + v-VQ-
Компонентное представление Q дается одной из формул
переменная отг,четная конфигурация
47
Вместе с тем
VvT.Q_Q.Vv=R%[9;^-<?r^- + ^({srv} ц1~ {\г) я'*) VvT • Q + Q • Vv = R,Rt [
qrt~ + qsr T^ + vq{{Srq) Ян + {Jr} qsi )
Приходим к таким, не содержащим символов Кристоффеля, представлениям
производных Олдройда и Трусделла
QV = R,R, (^+*0^0) + 000. (10,
§ 17. Переменная отсчетная конфигурация.
Тензоры Ривлина - Эриксена
В предшествующем тексте отсчетная конфигурация была отнесена к началу
отсчета времени ^=0, на что указывалось в обозначении градиента места
(3.1). Но ничто не препятствует принять за отсчетную актуальную
конфигурацию ^>х в момент т, указывая на это в обозначениях. Тогда
формулам (3.1), (6.5) пришлось бы придать вид
VR = R*(0)R4(0. Ох = е,(0)е'(<) (1)
и соответствующие указания внести в обозначения мер деформации Коши -
о о
Грина и Фингера, называя их G (t), F (t) вместо G, F. Нет нужды в
реконструкции обозначений величин, определение которых не связано с
отсчетной конфигурацией, каковы вектор скорости v, его
градиент yv, деформация D, вихрь W.
При явном указании на отсчетную конфигурацию градиенты места
представляются формулами
vR(0 = R*(T)Ri(0. vR(OT = Rj(0 R-5 (т) (2)
и, если поменять т и t местами
VR (т) = R* (<) R, (т), vR (х)т = R, (т) R* (t).
Заменяющим (3.5), (3.12) соотношениям придается вид
VR(/)-VR(t) = E, vR(*) = E. (3)
Мера деформации Коши - Грина представляется выражением
G(0 = R*(T)Ri(0-R*(0Rft(T) (4)
и при заменах
R* (0 = R,(0) • vR (t) = [vR (OP- Rs (0), R'(t)R,(0)=[vR(t)] \
R,(0)R*(t) = [vR(t)t]
48
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
1ГЛ. 1
приводится к виду
O(0 = [vR(T)] 1-G(0-[vR(T)T] \ G(0 = vR(t)-G(0-VR(t)t. (5)
Здесь мы вернулись к обозначению G = G меры Коши - Грина. Аналогичное
вычисление для меры Фингера дает
F(o = vRWt-f(t)-vR(0.
В этих преобразованиях, конечно, R5(0) = rs, R^(0) = rs.
Далее рассматриваются тензоры вида t
(6)
d"
<hn
Q (t)
т=/
л -0, I, 2.
зависящие только от t, значит, не связанные с отсчетной конфигурацией -
т о
"лишенные памяти"; в определение величин G (t), G (t) внесена "память" об
отсчетной конфигурации.
Примерами лишенных памяти величин служат тензоры
L,=
^VR(x)
X-t
R s(t)
R *(t)
d_
dx
dx*
R, (t) R ,W
dv
х.Г*'ф=(tm)
= Rs^ = Vb x=t aqs
и т. д. К их числу относятся тензоры Ривлина-Эриксена Получаем
Э" =
%-t
(7)
(8)
(9)
Эх =
X-t
dqs
vm
и по (4)
Аналогично получим
х=<
