Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
множителем, и поэтому можно написать
(- 1 I О Z I + 1) = 0,
<- 1 | az I - 1> = - 1.
°г ^"2" {I + °z) I Ру ~ 1 7) I '
~2 {I + °z) [ ^*) - cl I + 1) 1
1
(1.39)
где сг - постоянная. Аналогичным образом второе слагаемое в тождестве
(1.38) можно представить в виде
42
Д11РАК0ВСКАЯ ФОРМУЛИРОВ1СА
[ГЛ. 1
так что имеет место равенство
± (/ - az) | Р> = с21 - 1>, (1.40)
где с2 - другая постояпная. Таким образом, правая часть тождества (1.38)
в силу (1.39) и (1.40) может быть записана в виде
| Р) =с, I + 1> + с2 I - 1>, (1.41)
что и утверждалось нами ранее. Следовательно, мы доказали, что любой кет-
вектор линейно зависит от собственных кет-векторов | + 1)и| - 1>и что
система собственных кет-векторов (| + 1), | - 1)} составляет полную
систему векторов. Однако существует совсем немного задач на собственные
значения, для которых доказательство полноты может быть проведено так же,
как это мы сделали в приведенном выше простом случае.
На этом простом примере можно вывести так называемые соотношения полноты.
Для этого умножим равенство (1.41) слева сначала на <+ 1 |, а затем на <-
1 | и используем соотношения ортонормировки (1.33) и (1.34). В результате
получим
Cl =< + 1 |Р>, С2 =<-1 I Р:. (1.42)
Если теперь подставить эти соотношения обратно в равенство (1.41), то
получим соотношение
\Р> =(| + 1> <+ 1 I + I - 1> <- 1 |) \Р>.
В силу произвольности вектора | Р} последнее соотношение будет
выполняться лишь тогда, когда
| + 1> < + 1 | + | - 1> <- 1 | = /. (1.43)
Соотношение вида (1.43) называется соотношением полноты или замкнутости.
Соотношение полноты для произвольных эрмитовых операторов будет
обсуждаться в следующем разделе.
В приведенном выше примере с оператором crz гильбертово пространство
двумерно, потому что мы рассматривали только невырожденные собственные
значения.
1.7] НАБЛЮДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Й-ФУНКЦИЯ ДИРАКА 43
Если мы подставим выражения (1.42) в соотношения (1.39) и (1.40) , то
получим
-TV + а,) = I + 1> <+ 1 |, 4(/-az) = |-i><-11.
(1.44)
Вычитая первое равенство из второго, получим выражение для оператора az:
az = | + 1> <+ 1 I - I - 1> < - 1 I- (1-45)
Мы выразили оператор az через операторы вида | а) <а |, упомянутые нами
ранее в конце раздела 1.4.
1.7. Наблюдаемые величины. Полнота. Разложение по собственным кет-
векторам. 6-функция Дирака
В предыдущем разделе была решена очень простая задача о собственных
значениях оператора а г. Было показано, что система собственных кет-
векторов является полной системой в том смысле, что любой кет-вектор в
кет-пространстве может быть разложен по собственным кет-векторам
оператора а2. В настоящем разделе будет дана физическая интерпретация
собственных значений. Мы обсудим также вопрос о разложении произвольного
кет-вектора по собственным кет-векторам эрмитова оператора и покажем, что
условие ортонормировки (1.35) может быть обобщено и на тот случай, когда
собственные значения эрмитова оператора непрерывны.
С каждой динамической переменной рассматриваемой нами системы связывается
вполне определенный эрмитов оператор. При измерении этой переменной мы
получаем вещественное число. Поэтому вполне разумно ввести в теорию
следующее физическое предположение. Если квантовая система находится в
состоянии, которое является определенным собственным состоянием оператора
L, например | Z>, и если мы измеряем в этом состоянии величину L, то мы с
определенностью получим при таком измерении величину I. Предположим также
обратное. Пусть мы измеряем в системе величину L и всегда с
достоверностью получаем значение I. Это означает, что система находится в
собственном состоянии | I). Иными словами, если мы измеряем величину L
для большого числа тождественных
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
систем, приготовленных одинаковым способом, и всегда при измерении
получаем значение I для каждой системы, то тогда каждая из систем
находится в состоянии | I).
Кроме того, если производится единичное измерение величины L над
системой, находящейся ^произвольном состоянии, то в результате Всегда
получается одно из собственных значений оператора L, соответствующего
величине L. При этом измерение, производимое над системой, находящейся в
произвольном состоянии, возмущает саму систему и заставляет ее переходить
в одно из собственных состояний, соответствующих измеряемой величине [1].
Если же сразу после этого вторично производится измерение той же самой
величины Z, то при этом уже с достоверностью получается то же самое
собственное значение, которое было при первом измерении.
В дальнейшем предполагается, что любое состояние системы линейно зависит
от собственных состояний оператора, соответствующего величине L, т. е.
эти собственные состояния величины L образуют полную и замкнутую систему
состояний. Те эрмитовы операторы, собственные векторы которых образуют
полную систему векторов, называются "наблюдаемыми величинами".
Доказательство полноты и, следовательно, того, что оператор является
