Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
каждому бра-вектору индекс того кет-вектора, с которым он связан. Таким
образом, бра-вектор (а | связан с кет-вектором | а). Апалогичпо, с кет-
вектором
| u> = I О) + I Ь> (1.5а)
связывается соответствующий бра-вектор
(и I = (а I + (Ъ I (1.5Ь)
и с кет-вектором
|к> = с | а), (1.6а)
где с - комплексное число, связывается бра-вектор
(и | = с* <а [, (1.6Ь)
где с* - число, комплексно сопряженное числу с. Мы пе будем детально
вникать в причину использования величины с* вместо с, а для простоты
примем это утверждение в качестве дополнительного предположения [1].
Удобно называть бра-вектор, связанный с соответствующим ему кет-вектором,
его эрмитовски сопряженным вектором и наоборот и записывать это в виде
<ц | = (| и"+, | и) = "и | )+, (1.7)
где индекс "-(-" означает, что любой бра-вектор заменяется па
соответствующий ему кет-вектор (и наоборот), а комплексно сопряженное от
любого числа, входящего в те или иные соотношения с кет- или бра-
вектором, определяется согласно (1.6).
В силу того, что по предположению между бра- и кет-векторами существует
вполне определенное однозначное соответствие, направление бра-вектора,
как и направление кет-вектора, может в равной степепи представлять
28
ДИРАКОВС.КАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
состояние квантовой системы. В этом случае говорят, что эти векторы
"дуальны" друг другу.
До настоящего момента мы еще не определили длину бра- и кет-векторов.
Рассмотрим два кет-вектора | я> и | by и соответствующие им бра-векторы
(а | и <Ь|. Мы можем образовать из этих векторов четыре числа: <я | Ь>,
<Ъ | я), <я | я) и (Ь | Ь). В общем случае числа <я | Ь> и <Ь | я> будут
комплексными, поэтому мы сделаем дополнительное предположение,
заключающееся в том, что эти два комплексных числа связаны друг с другом
следующим соотношением:
(а | Ь> = <Ъ |тя> *. (1.8)
В силу этого предположения, если положить | Ь} = | я), можно сделать
вывод, что величина (я | я) является вещественной величиной. Если мы
определяем длину, или норму, кет-вектора | я) как величину, равную <я |
я>, то, очевидно, если мы хотим, чтобы векторы имели вещественную норму,
существенно необходимо предположение (1.8). Сделаем для определенности
дальнейшее дополнительное предположение, заключающееся в том, что длина
вектора является положительной или равной нулю, т. е.
<я | я) > 0. (1.9)
Очевидно, что равенство выполняется только тогда, когда
I я> = 0.
Предположения (1.8) и (1.9) можно пояснить на примере рассмотрения
волновой функции ф (q, t) и комплексно сопряженной ей функции ф* (q, t).
Мы рассматриваем волновую функцию ф (q, t) как совокупность проекций
вектора j ф) в кет-пространстве. Аналогично, мы можем представить
волновую функцию ф* (q, t) как проекции вектора (ф | в бра-пространстве.
Очевидно, что
4-00
Ф* (?) X (?)'= [х* (?) Ф (?) Г. j |'Ф (?) I2 dq > 0.
-оо
Аналогичные соотношения справедливы для бра- и кет-векторов, так как они
тесно связаны с волновыми функциями. Это и оправдывает введение
предположений (1.8) и (1.9).
1.4]
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
29
Когда речь идет о векторах, то очень важным является также понятие
ортогональности. В случае бра- и кет-векторов векторы {а \ и | Ь)
называются ортогональными, если (а | Ь> = 0. В волновой механике функции
ф* (q) и X (q) ортогональны, если ?ф* (q) % (q) dq = 0. Введенная здесь
ортогональность отличается от ортогональности двух обычных векторов А и
В. Действительно, если (АВ) = 0, то векторы А и В взаимно
перпендикулярны. Но векторы А и В находятся в одном и том же
пространстве. Векторы же (а | и | by принадлежат различным пространствам.
(Вспомним рассмотренный ранее пример с кристаллической решеткой.)
Тем не менее, если<а | 6) = 0, то можно сказать, что векторы | а) и |6>,
а также векторы (а | и {Ъ | ортогональны. Можно также сказать, что если
<а\Ь) = 0, то квантовые состояния, которые представляют эти векторы,
ортогональны.
Цространство называется гильбертовым пространством [8], если норма всех
векторов в этом пространстве конечна. Как мы увидим позднее, теория
должна включать в себя и векторы с бесконечной нормой. Пространство таких
векторов образует более общее векторное пространство, которое называется
пространством кет- или бра-векторов либо просто кет- или бра-
пространством. Включение векторов с бесконечной нормой требует введения в
дальнейшем б-функции Дирака.
1.4. Линейные^оператопы
Понятие линейных операторов уже знакомо читателю. Например, если / (t) -
квадратично интегрируемая функция от непрерывной переменной t, то такая
функция принадлежит гильбертову пространству [8]. Тогда в этом
пространстве можно определить линейный оператор dldt путем сопоставления
функции / (t) другой функции g (t), записываемой в виде
Если в этом пространстве каждой функции / (t) мы ставим в соответствие
некоторую другую функцию g (t), то тем самым мы определяем оператор dldt.
Если, кроме того, мы
30
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ.
требуем, чтобы
4 l/i (0 + /2 (*;] = Si (t) + St (t), 4с/ W = (*).
