Теория искры - Лозанский Э.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку дифференциальное эффективное сечение от угла рассеяния не зависит, оно равно произведению дифференциального эффективного сечения на полный телесный угол, т. е. на 4я:
о = я а2, (1.30)
что очевидно опять же из геометрических соображений. При столкновении двух шаров а есть сумма их радиусов.
14
Однако в квантовой механике вследствие дифракционных явлений полное эффективное сечение упругого рассеяния твердых шаров стремится к удвоенному значению о = 2яа2 даже при стремлении к нулю длины волны де Бройля. Это происходит из-за сильного увеличения дифференциального эффективного сечения при малых углах (порядка Х/а) вследствие интерференции рассеянной волны с падающей плоской волной на краю шара. Диффузионное сечение стремится при X-+ 0 к значению, получаемому в классической ме-
п
ханике, где оно совпадает с полным сечением, так как f cos % X
о
X sin %-d% = 0. Если длина волны де Бройля X > а, то рассеяние сфе* рически-симметрично, как и вообще в квантовой механике, когда область сил взаимодействия (область, в которой потенциал взаимодействия больше или порядка кинетической энергии) убывает быстрее, чем г~3. Однако в этом случае о = 4яа2, т. е. в четыре раза больше, чем по классической механике; это относится и к диффузионному сечению.
На рис. 1.4 представлены графики дифференциального эффективного сечения: квантово механического при Xla = 0,314 и классического а2/4. Чтобы получить диффузионное сечение, нужно умножить дифференциальное сечение'на множитель (I — cos %), который при малых % ведет себя как %2/2, и проинтегрировать по телесному углу. Основное отличие квантовомеханического сечения от классического дифференциального, как видно из рис. 1.4, наблюдается в области
малых углов рассеяния, где (I — cos %) мало. Размер этой области
тем меньше, чем меньше X. Вот почему полученное после умножения на (I — cos %) и интегрирования по dQ квантовомеханическое диффузионное сечение совпадает с классическим.
Модель твердых шаров часто применяется для описания процессов столкновения атомов или молекул при относительно малых энергиях. При очень больших расстояниях лгёжду молекулами действует потенциал притяжения, обратно пропорциональный расстоянию между ними в шестой степени (силы Ван-дер-Ваальса). На меньших расстояниях силы притяжения сменяются силами отталкивания, так q4to минимум потенциала образуется на расстояниях порядка 3 А и имеет значение ~ IO-2 эв, т. е. порядка обычной тепловой энергии газовых молекул. На меньших расстояниях потенциал круто возрастает приблизительно как г"*10, поэтому расстояние наибольшего сближения очень мало зависит от энергии и прицельного параметра, как при столкновении почти твердых шаров.
Рис. 1.3. К рассеянию частиц на твердом шарике
15
В этом случае дифференциальное эффективное сечение слабо зависит от угла рассеяния и энергии относительного движения, кроме области очень малых углов, не имеющих значения для кинетики. Эффективное значение суммы радиусов шара а определяется из условия равенства средней кинетической энергии столкновения и потенциальной энергии. Чаще а определяют из коэффициентов в формуле Ван-дер-Ваальса, коэффициентов диффузии, вязкости, теплопроводности или других экспериментально измеряемых величин, зависящих от а.
Рис. 1.4. Зависимость квантовомеханического (------) и
классического (-----) дифференциального сечения от
угла рассеяния % при столкновении твердых шаров
В классической механике при сферически-симметричном потенциале взаимодействия зависимость угла рассеяния от прицельного параметра устанавливается сравнительно просто (не считая вычисления интеграла) на основании законов сохранения энергии относительного движения и закона сохранения углового импульса
T = [Ir212 + |хг2г^2/2 + U (г) = ци2/2; ^r2 -ф = \ipv = const. (1*31)
Из второго уравнения (сохранения углового импульса) получаем:
16
или
¦ф= Г---------Prf-T - - —. (1.32)
J rtVl—U/T—fP/r2
rO
Здесь точка над буквой обозначает дифференцирование по времени, U — потенциал взаимодействия, угол -ф изображен на рис. 1.2. За начало отсчета для угла if принята точка траектории, где г = О, соответственно и dr/dty = 0. Далее можно получить угол рассеяния
у = л —2г]> = —T-------------------------(dUIdr)Qd;- (L33)
J гТ\/:\ —UIT—р2/V2
Го
для чего нужно в выражение (1.32) ввести новую переменную
0° ,
л: = г2 (1 — І7/Г) и представить я = Г —- —- . Однако не-
J —р2
P3
посредственное применениё формулы (1.33) затруднительно, если потенциал немонотонный, а интеграл аналитически не берется, как это обычно и бывает. Если потенциал монотонный, то все же из формулы (1.33) можно заключить, что для малых углов рассеяния X ~ UIT. Если U спадает как г~п, то появляется коэффициент пропорциональности
Формула (1.33) упрощается для больших прицельных параметров и соответственно малых углов, так как на минимальном расстоянии г0 величина U (г)!T становится очень малой, г0«ри
СЮ OO OO
С ------L Г = f F1A0.34)
J TVr2-P2 HV J dr г -О HV J
