Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
идеальная жидкость находится в механическом равновесии:
(18.6)
v = 0, Vp = pg, T = T(z). (19.1)
2.19. Достаточное условие отсутствия конвекции 109
уР2, Si, Р{Р2,-Ч)
*2- Р2, S2, P(P2,S2)
О ZH р 1, Si, pipuSi)
________________________________________________I
Рис. 37. К выводу условия отсутствия конвекции.
Предположим, малый элемент жидкости переместился вверх из слоя 1 в слой 2
(рис. 37). Его плотность на новом месте стала p(p2,si), поскольку
энтропия при движении идеальной жидкости сохраняется. Если плотность
p(p2,s2) окружающей жидкости окажется меньшей, то на элемент жидкости
будет действовать сила (разность силы тяжести и силы Архимеда),
стремящаяся вернуть его обратно. Таким образом, условие отсутствия
конвекции имеет вид
или, в терминах удельного объёма жидкости V = 1/р,
p{P2,S2) < p{p2,Si)
(19.2)
V(p2,s2) -V(p2,s1) > 0.
(19.3)
Переходя к малым смещениям, получаем
Производные в (19.4) выражаются через теплоемкость ср и температурный
коэффициент расширения
110
Глава 2
Имеем
dv\ _ д(Ур) _ д(Ур) д(Тр) _ d.s )р d(sp) д(Тр) d(sp)
(шз)
= Ф,/дЛ dT = _ d(sT) d(Vp) cp dT ^
dz \dp)rpdz \dT)p dz ^ d(pT) d(sT) T dz
tto i CP dT a i CP dT у" = pV^+Tib=li!l+Ti;- <I9J)
Обычно /3 > 0, так что выражение (19.6) положительно и система устойчива
при условии ds/dz > 0. Итак, конвекция не может возникнуть при условии
(19.8)
dz ср
Отметим, что этим условием допускается медленное падение температуры по
направлению снизу вверх (например, 1° на 6.7 км для воды при 20°С и 1° на
100 м для воздуха).
2.20. Свободная конвекция
При нарушении условия (19.8) конвекция не всегда возникает, поскольку в
реальной жидкости есть диссипация, мешающая конвективному движению. Для
определения необходимого и достаточного условия возникновения конвекции
необходимо решить спектральную задачу, т. е. наложить на невозмущенное
состояние жидкости малое возмущение и найти, когда это возмущение
нарастает со временем. Проделаем это на примере жидкости, заключенной
между двумя плоскопараллельными пластинами (рис. 38).
Пусть в жидкости возникло какое-то движение в плоскости (x,z). Тогда все
характеризующие жидкость величины
2.20. Свободная конвекция
111
z = L
IT,
9
Z A
v A A
A
X
To
Рис. 38. Геометрия задачи о свободной конвекции.
можно представить как сумму трех слагаемых: значения величины при z = 0
(индекс 0), зависящей только от z постоянной добавки (значок 8) и малого
возмущения (штрих), вызванного движением жидкости, например,
Будем считать, что относительное изменение параметров жидкости с высотой
мало, а вызванные движением возмущения еще меньше {ро >¦ \5р\ >¦ \р'\ и
т. п.). Такая иерархия малостей позволяет нам линеаризовать уравнения
вязкой жидкости по малости возмущения. Относительно же малого изменения
параметров с высотой будем руководствоваться следующим правилом:
содержащими <5 слагаемыми можно пренебрегать, только если они
складываются с заведомо большими слагаемыми.
Из уравнения непрерывности (1.1) имеем
d,VS=4! = 4( I+ (^XW)). (20.2)
где т и L - временной и пространственный масштабы задачи. Слагаемые в
правой части (20.3) малы по сравнению с отношением v/L (оценкой
дивергенции div"): малость второго слагаемого очевидна, малость же
первого будет обоснована
р = ро + 8p(z) + р\х, z, t).
(20.1)
(20.3)
112 Глава 2
позже. Следовательно, можно считать
divv = 0. (20.4)
Несжимаемость жидкости (20.4) позволяет пользоваться уравнениями
теплопереноса и движения вязкой жидкости в их простейших формах:
§ + ("-У)Г=хДГ+?(§^ + |^) , (20.5)
ft=-^+g + v/\v. (20.6)
Определим сначала невозмущенное состояние системы. В отсутствие
возмущений (д/дt = 0, v = 0) уравнение (20.5) принимает вид
АТ = = 0, (20.7)
dz2
откуда следует линейность невозмущенного распределения температуры:
Г = То + ST = То + Z<kTil ^ • (20.8)
Из (20.6) находим невозмущенное давление:
= -(Ро + Sp)g и -р0д, (20.9)
р = ро + 5р " ро - p0gz. (20.10)
Зная изменение с высотой давления и температуры, можно найти изменение
плотности жидкости:
5fi=(%)T5p+(^XsT- ,2ол,)
По порядку величины
(1)т5р~т- (й9/г~',"т'-вд- (2ол2)
2.20. Свободная конвекция
113
Будем считать, что при всплывании жидкости её плотность меняется, главным
образом, за счет изменения температуры, т. е. второе слагаемое в правой
части (20.11) намного больше первого. Это справедливо при условии
VT>^-. (20.13)
/3cf
Тогда
5р = {^т)р5т = -ро(35т (20Л4)
и аналогично
р' = -роРТ'. (20.15)
В первом порядке по амплитуде возмущения из уравнений
(20.5) и (20.6) имеем
^+гу^=хлТ', (20.16)
dv V(5р + р') л ^
" = 7+9 + -д" =
= _^_ + ^p + l/A.= _vi_mr + l/A^ (2017)
Слагаемые с 8р в правой части (20.17) опущены, так как они заведомо малы
на фоне слагаемых с ро. Слагаемое же с 8Т в левой части (20.16)
необходимо оставить, так как рядом с ним нет заведомо больших слагаемых.
В нашей задаче удобно ввести функцию тока ф, такую,
что
Vx = S* (20.18)
OZ ох
Эта замена часто используется при описании двумерных без-дивергентных
