Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, газ налетает на ударную волну (или ударная
волна
налетает на газ) со скоростью, большей скорости звука:
"1 > csl = V7PiVi- (12.17)
Аналогично можно показать, что позади ударной волны газ течет с
дозвуковой скоростью:
"2 < <72 = VTP2v2. (12.18)
Соотношения (12.17) и (12.18) помогают понять физику ударной волны на
качественном уровне. С точки зрения газа 1, картина явления выглядит так
(рис. 28, а). Плотный, с большим давлением газ 2 налетает на покоящийся
газ 1 и "сминает" его подобно бульдозеру. Поскольку граница раздела
движется быстрее скорости звука, газ 1 остается в покое до самого прихода
фронта ударной волны (газ "узнает" о нем только тогда, когда фронт уже
пришел).
С точки зрения плотного газа картина иная (рис. 28, б). Газ 2 находится в
состоянии покоя, причём слева он удерживается за счет быстрого потока
газа 1, который своим передаваемым импульсом уравновешивает давление газа
2. Газ 1 при ударе о границу раздела сжимается, нагревается и становится
газом 2, поэтому граница раздела движется влево с некоторой дозвуковой
скоростью.
(12.14)
(12.15)
(12.16)
92 Глава 2
(r) (r) (r)
t'l > Csi Ч t'2 < Cs2
>
а о
Рис. 28. Ударная волна с точки зрения редкого (а) и плотного (б) газов.
Полезно также рассмотреть предельные случаи сильной и слабой ударной
волны. В случае сильной волны
р2 (tm) Р1 1/2 Т'-1 ПОШ1
П ' ~Р2= уг = ^ТТ' (12Л9)
так что степень сжатия газа при прохождении ударной волны оказывается
ограниченной. Для воздуха (двухатомный газ, 7 = = 7/5) максимальная
степень сжатия равна 6.
В случае слабой волны давление и плотность газа изменяются на малую
величину:
Р2 = Pi + $р ($р < Pi), P2 = Pi + 5р (5р <С pi), (12.20)
связь между изменениями давления и плотности оказывается такой:
= *"/>• (12.21)
а скорости газа примерно равны:
гд " г>2 " csi " cs2. (12.22)
Таким образом, в пределе малого скачка давления ударная волна переходит в
суперпозицию обычных звуковых волн.
2.13. Истечение газа через сопло
Рассмотрим практически важную задачу о стационарном истечении газа из
большого сосуда через узкое сопло с плавно
2.13. Истечение газа через сопло
93
меняющимся сечением S (рис. 29). Исходные давление ро и плотность ро
газа, а также давление на выходе из сопла ра заданы. Будем работать в
рамках идеальной гидродинамики.
Рис. 29. Геометрия задачи об истечении газа через сопло. Из уравнения
Бернулли (3.7) имеем
д_гР_ 81 2
dw ' 81
1 др Р~д!
4др Р 8V
(13.1)
где координата I отсчитывается вдоль линии тока. Из этой формулы следует,
что скорость потока в сопле увеличивается, когда давление и плотность
газа падают.
Поскольку сечение сопла меняется плавно, течение можно считать одномерным
(т. е. все величины зависят только от I). Полный поток газа при этом
равен
о_
5(/)'
Q = pvS, откуда pv = 7-г,
(13.2)
так что плотность потока pv (масса вещества, прошедшего в единицу времени
через единицу площади) есть известная функция от I.
Из уравнения (13.2) легко находятся все параметры течения для
произвольного сечения сопла S(l). Например, для идеального газа выражаем
все через плотность:
р = Ро(ре) =р{р
(13.3)
94
Глава 2
2= IV = JPO /^\7 Х = Р Ро I Ро
М?) = с^)'
(т - 1)р 7-1
= w(p),
- + W = w0
¦ v = \/2(w0 - w) = v{p) и из (13.2) находим зависимость р(1).
(13.4)
(13.5)
(13.6)
v/cs0
Рис. 30. Зависимость плотности потока от скорости газа для 7 = 7/5-
Качественные особенности истечения газа легко понять, если
продифференцировать плотность потока по I,
dpv = dv Ш 9 81
pv_d_v^_ =
с2 д1 2 9
(13.7)
и с помощью этой формулы построить график функции pv(v) (рис. 30). При
малых v поток растет почти линейно (коэффициент перед dv/dt почти
константа), затем рост замедляется и при v = cs сменяется убыванием.
Когда скорость v достигает скорости истечения газа в вакуум (3.10), поток
обращается в нуль, так как в вакууме р = 0. Из рис. 30 следует, что чтобы
скорость истечения на выходе из сопла могла превысить скорость звука,
сопло должно сначала сужаться, а затем расширяться (так как pv ос I/S').
Такое сверхзвуковое сопло называется соплом Лаваля. Самая узкая часть
сопла, в которой
2.14. Простые волны
95
скорость газа равняется локальной скорости звука, называется критическим
сечением, а скорость в ней (и*) - критической скоростью.
А Ри\
дозвуковое
^ --- , течение, Q(p0,po,Pa
Pi
v = с., 1 ч
Q{po,Po) J / 1 р2 нерасчетный
/ i 4 к режим
расчетное сверхзвуковое течение
Рис. 31. Ход давления в сопле при различных значениях ра.
Характер истечения газа определяется выходным давлением ра (рис. 31).
Если перепад давления мал (ра больше некоторого значения pi(po7po)), то
течение всюду дозвуковое, а расход газа зависит от ра (вариант а на рис.
30). При уменьшении ра в какой-то момент в самом узком месте сопла
достигается скорость звука, после чего расход газа перестает зависеть от
выходного давления. При сверхзвуковом течении (вариант б) расходом газа
однозначно определяются все параметры потока, в том числе и давление на
