Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
называют "грушевидной (piriform) фигурой", а иногда и просто "грушей".
Интересно, однако,
1Литтлтон не договаривает здесь самого главного. Впрочем, того видно
требует сам жанр детектива(а именно в этом духе и написана эта сугубо
математическая книга) - самое главное и интересное узнаётся в конце
истории. Интрига нарастает (см. гл. 9)! - Прим. ред.
Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби
177
Рис. 17
что строгие вычисления Дарвина, сделанные позже, дали несколько другой
результат. Как оси критического эллипсоида,так и нормальные смещения,
соответствующие гармонической функции третьего порядка, образуют фигуру ,
вытянутую гораздо сильнее, чем предполагал Пуанкаре, и эта фигура имела
гораздо меньше сходства с грушей. Набросок Пуанкаре и форма, вычисленная
Дарвином, показаны на рис. 16 и 17. Они подтверждают некоторое сходство с
грушей. Так или иначе, это название для нового ряда в любом случае
удобно, поэтому термин "грушевидный" был принят и теперь используется.
7. Устойчивость грушевидной фигуры
Проблема устойчивости грушевидных фигур была изучена Ляпуновым, Дарвином
и Джинсом и оказалась задачей величайшей сложности. Главная трудность
заключается в точном вычислении гравитационного потенциала грушевидной
фигуры, знание которого необходимо для выражения постоянства полного
механического потенциала (гравитационный плюс центробежный) на граничной
поверхности.
178
Глава VIII
Грушевидную фигуру (точнее, её поверхность, Б. К.) нельзя представить
какой-либо простой замкнутой аналитической формой, но, как оказалось,
можно изучить её свойства в ближайшей окрестности критического эллипсоида
Якоби, от которого ответвляется грушевидный ряд. Грушевидная фигура
получается наложением малого смещения на критический эллипсоид. Это
смещение задаётся бесконечно малым параметром, по степеням которого можно
представить разложения в ряд. Таким образом, уравнение грушевидной фигуры
можно с достаточной точностью представить выражением вида
( у + уд Н-5" - l') + еРо + e2Qo + е3Ро = 0, (12)
V сг Ъ (Г /
где первый член (в скобках), приравненный к нулю, является эллипсоидом
бифуркации, е - малый параметр, представляющий степень (ма-
лого) отклонения от точки бифуркации, а Ро, Qо, Ро - определённые
многочлены от х, у, z, в которых члены высшей степени имеют,
соответственно, 3, 4, и 5 порядки. Нашей задачей является вычисление в
этих многочленах коэффициентов, подходящих для грушевидной равновесной
формы, опираясь на условие относительного гидростатического равновесия. В
данном случае это условие принимает вид:
+ е25(ш2))(х2 + у2) =
= -7г GpabcO (+ дд + ^д - 1 + еРо + e2Qo + е3Ро') • (13)
V щ bz с /
Здесь Vg - гравитационный потенциал массы, ограниченной поверхностью
(12), и теперь оказывается необходимым вычисление Vg до членов третьего
порядка по е, т. е. до е3 включительно. Именно это требование делает
задачу такой трудоемкой. Член е2д(ш2) представляет собой поправку к
квадрату угловой скорости lu2 для критического эллипсоида Якоби, значение
которой находится в процессе вычисления коэффициентов в Ро, Qо, Ро-
Множитель в является просто коэффициентом пропорциональности, введенным
здесь для выполнения условия постоянства суммарного потенциала на
свободной поверхности.
Когда найдены коэффициенты, входящие в Ро- Qo, Ро, сравнительно легко
вычислить момент инерции соответствующей грушевидной массы с точностью до
членов, содержащих е2. Тогда из вычисленного значения угловой скорости ш2
+ е25(ш2) сразу получается величина углового момента, удовлетворяющего
условиям равновесия грушевид-
Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби
179
Рис. 18.
ных форм в окрестности точки бифуркации. В соответствии с вычислениями
Джинса, значения этих величин оказываются следующими: сэ2 + е26(и2) =
2ттСр х 0,142(1 + 0, 05227е2) (14)
для угловой скорости равновесной грушевидной фигуры и
Н = Я0(1 - 0,06765е2) (15)
для её углового момента, где Hq = 0,3896 (G1/2 М3/2 г1/2), г3 = abc.
Если рассматривать систему медленно развивающейся в направлении роста
углового момента и изобразить ряд Якоби вертикальной линией на графике, а
параметр е, представляющий отклонение от него, - горизонтальной
координатой, см. рис. 18, то из условия (15) ясно видно: ряд равновесных
грушевидных конфигураций таков, что изображающая их кривая изначально
стремиться вниз из точки бифуркации С, что и показано на графике. В
согласии с положениями главы II (стр. 24), грушевидный ряд изначально
должен обладать вековой неустойчивостью. К такому заключению независимо
пришли Ляпунов и Джинс. Как утверждает Джинс, этот факт можно доказать
180
Глава VIII
и на основе исследований Дарвина, если исправить одну техническую
ошибку)13).
Физически этот результат значит, что если массу заставить двигаться точно
в состоянии, совместимом с грушевидной фигурой (в окрестности С), то она
будет находится в равновесии, и если она не возмущена, то эта форма будет
продолжать вращаться как твердое тело. При этом её угловой момент будет
