Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
фигуры Якоби существуют, когда угловой момент превышает определённое
значение, без сомнения, привлёк внимание к исследованию этой
последовательности.
Первый член ряда Якоби является одновременно и сфероидом Маклорена; идя
далее вдоль последовательности, для больших значений углового момента
экваториальные оси фигуры будут иметь уже разную длину, и фигура в целом
будет вытягиваться. При стремящемся к бесконечности моменте вращения
предельная фигура данного ряда неограниченно вытягивается; одновременно
средняя ось эллипсоида стремится к равенству с третьей, наименьшей осью,
причём обе они приближаются к нулю.
Вплоть до этого момента исследования не выходили за рамки вопроса о
существовании возможных1 форм равновесия. Так продолжалось до тех пор,
пока Пуанкаре в 1885 г. не осветил эту проблему в своей работе, ставшей
впоследствии знаменитой. В ней он создал метод для изучения трудной
проблемы об устойчивости сфероидальных и эллипсоидальных фигур, который,
кроме того, включал в себя и гораздо большее: отыскание и изучение других
форм равновесия. Без сомнения, тщательное изучение этих вопросов могло
быть выполнено только с помощью математического аппарата эллипсоидальных
гармонических функций, который к тому времени, когда Пуанкаре начал свою
работу, был уже детально разработан Ламэ и другими^1-1.
Как известно, вопрос устойчивости относительного равновесия для
вращающихся систем является более сложным, чем для систем статических.
Здесь различают два разных типа устойчивости, обычно определяемых как
"вековая" и "обыкновенная"2. "Вековая" устойчивость (а точнее,
неустойчивость, Б. К.3) предполагает существование трения внутри системы
(которое исчезает вместе с относительными скоростями)4, в то время как
"обыкновенная" не зависит от действия диссипа-
эллипсоидальных фигур, а также о притяжении неоднородных эллипсоидов.
Пуас-сон сообщил обществу только о втором результате, скромно умолчав о
первом. - Прим. ред.
1А точнее, только эллипсоидальных. - Прим. ред.
2 Обыкновенную устойчивость называют также колебательной или
динамической. - Прим. ред.
3Б. К. - Борис Кондратьев.
4На самом же деле вековая неустойчивость системы может быть следствием не
только внутреннего трения в жидкости, но также и гравитационного
излучения от
16
Глава I
ции. Пуанкаре удалось показать, что масса жидкости при прослеживании её
на последовательности Маклорена в направлении возрастающего углового
момента приобретает вековую неустойчивость, достигнув определённой
степени сжатия1. Эта особая конфигурация, называемая "бифуркационной", и
даёт начало ряду Якоби. Неустойчивость возникает здесь при деформации
поверхности определённой гармонической функцией второго порядка. Именно
поэтому фигуры в начале последовательности Якоби можно рассматривать как
результат деформации поверхности критического сфероида Маклорена
гармониками второго порядка. Эту деформацию можно представить как
наложение стационарной волны на поверхность сфероида: на экваторе
сфероида волна имеет два возвышения и две впадины, вблизи же полюсов
поверхность остаётся прежней. В результате такой деформации сфероид
преобразуется в трёхосный эллипсоид. Таким образом, последовательность
Якоби можно рассматривать как ряд, ответвляющийся от последовательности
Маклорена. Новый ряд появляется в результате деформации поверхности
именно теми гармоническими членами, из-за которых становится неустойчивой
исходная последовательность Маклорена*-2-*.
Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые
фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым
образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б.
К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными
свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся
эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид
имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби
опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог
показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от
гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем
растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие
неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого
и т.д. порядков^3).
Появление новых неустойчивостей означает, что в каждой из соответствующих
точек бифуркации становится возможным ответвле-
вращающейся массы, поскольку оно также приводит к сглаживанию внутренних
градиентов скоростей. - Прим. ред.
1Годом раньше Пуанкаре этот важный результат доказал А. М. Ляпунов. -
Прим. ред.
Введение
17
ние нового ряда равновесных конфигураций. Это ответвление происходит при
деформации поверхности, выраженной той же гармонической функцией, через
которую впервые и проявляется данная неустойчивость. Прослеживая фигуры
Якоби в направлении возрастания их углового момента, сначала встречаем
