Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
матрицы обменных интегралов. Эта модель была использована в [44] для
описания магнитных свойств линейных цепочек хорошо проводящих комплексов
тетрацианохинодиметана (ТЦХМ).
Термодинамические свойства неупорядоченной X-У-цепочки рассматривались
также в [43], где показано, что в такой системе отсутствует фазовый
переход по полю при Т - 0, имеющий место в упорядоченной системе.
5.3. Асимптотика р(?) вблизи истинной границы и в окрестности границы
затравочного спектра для модели точечных рассеивателей. Рассмотрим
сначала вычисление асимптотики в модели (1.7) с и (х) - k06 (х), /г">0
(отталкивающие точечные рассеиватели), вблизи истинной границы спектра
?гр = 0, т. е. для q<^k0. Чтобы учесть это условие, перепишем (5.23),
вводя явную зависимость от У], в виде
uf1 (.Е) = г1 (1 -е~*ду/) + (1 + e"*w/)-e'tw/uj(?). (5.31)
Наличие большого параметра kjq в первом слагаемом позволяет ожидать, что
величины "7, определяемые этим соотношением,
и потому при Ер -0 и Т ->-0 [44]
х-1(Г)~Г1п*(77Я0).
66
малы. Однако так как kjq входит в (5.31) вместе с множителем 1 -е~2ду/,
то, чтобы Uj действительно обладали этим свойством, необходимо еще
выполнение условия k0l^>l, означающего, что концентрация рассеивателей c
= {kal)~l мала (слабое разупорядо-чение). В таком случае в (5.31) можно
оставить только первое слагаемое, и, значит, в этом приближении величины
Uj {Е) выражаются непосредственно через расстояния у} между соседними
рассеивателями:
Uj (Е) " qkb1 (1 - e~*qvJ)~\
Поэтому из (5.24) получаем
оо со
<0(0. 0; Я" = -? + ЕЧ-Я ? №(")"-" 4".
п= 1 о
где f(y)-плотность вероятностей расстояний у между соседними
рассеивателями. Последнее выражение продолжается на спектр заменой q->/&,
jfe* = ?> 0, и после простых преобразований приводит к формуле
Р(?) = 2"/(")• <5-32>
п= 1
справедливой для произвольного распределения /(#), обладающего первым
моментом.
При малой концентрации (k0l^>\) в области k<^k0 применимости результата
(5.32) можно выделить два участка: l~x <^Lk<^ka.
Если функция f(y) убывает не медленнее, чем экспонента, то на первом
из них основной вклад в плотность состояний дает
первое слагаемое в правой части формулы (5.32):
Р <5-33)
причем при k-+0 плотность состояний экспоненциально мала. Эта малость
связана с флуктуационным характером состояний вблизи границы ?гр = 0. Мы
вернемся к этому вопросу в § 7 и в гл. IV. В случае же степенного
убывания, когда / (t/)---7"1 (//г/)06, а > 2, необходимо учитывать все
слагаемые, и тогда
р D. (5-34>
где ?(х)-^-функция Римана. На втором участке (I"1 суммирование в (5.32)
можно заменить интегрированием. Выполняя эту процедуру и учитывая, что \
yf{y)dy~l, получаем
о
p(E)^{2nk)~1, l-*<^E<^k$. (5.35)
з*
67
В области k~l_1 обе формулы, (5.33) и (5.35), сшиваются, приводя к
плотности состояний р~1.
В частном случае распределения Пуассона f(y) = l~1exр(-у/1)
непосредственно из (5.32) получаем [45]
2лс2 exp (-2ne/&t*)
k0
Р (Е)
2 t-ч-/ - "V. [! -еХр (-2яс/е'^*)]а '
где е -4Я/&Ц. Отсюда в предельных случаях следует, что
%Р(Е)
2л с2
TvT
2лег/
ехр ^е<^с2,
1 е с2.
(5.36)
(5.37)
Таким образом, слабая неупорядоченность (с<^1) приводит к тому, что
плотность состояний р(е) (сплошная линия на рис. 2) отличается от
плотности состояний р0 (е) идеальной системы
(штриховая линия) лишь в узкой окрестности Д8~с2 истинной флуктуационной
границы спектра.
В работе [42] результаты, практически совпадающие с (5.37), были получены
для модели сильной связи (5.1) с недиагональным беспорядком, когда Uj -
0, а величины ЛУ=Я| независимы и одинаково распределены с некоторой
плотностью вероятности P{h) (0 < h < h0 <оо). При этом использовался
более сложный путь, связанный с решением уравнений (5.17) и соотношением
(5,16). Там же рассмотрен один случай зависящих между собой величин Я/,
когда последние, по существу, образуют марковскую цепь.
Для модели с притягивающими рассеивателями k0 < 0 истинная граница
спектра уходит на -оо, однако при малой концентрации с = (|^0|/)"1<1
удается изучить поведение плотности состояний в окрестности границы
затравочного спектра Е = 0.
68
В этом случае рекуррентные соотношения (5.31) приобретают вйД
н/'1== - Щ + (' +e2"W/) <5'38)
где q теперь находится в первом квадранте комплексной плоскости.
Вещественные значения q соответствуют положительным, а чисто мнимые -
отрицательным значениям энергии. Так же как и в предыдущем случае, для
jg|<^|&0|" третьим слага-
емым в (5.38) можно пренебречь и тем самым расцепить эти рекуррентные
соотношения:
UJ1 = и-1 ("/) = - ^ (1 -е*'"/) + (I +
Второе слагаемое, однако, необходимо учитывать, поскольку именно оно, как
оказывается, приводит к отличной от нуля плотности состояний в области
?<0.
В этом приближении р (?) имеет вид
+rnlmj?,]fWbu(y)dy-
Продолжая это равенство на
спектр*(Imq->- + 0 или Reg-v-j-О) и вычисляя интеграл в правой части, для
плотности состояний в области энергий |ё|<^1 получаем [46]
(
|fe о 1Р (Е) 2
