Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
некоррелированными случайными величинами, распределенными по одному и
тому же закону (обобщенному пуассоновскому с параметром п):
р"№=<^ПГЛ"-1'-"Л' Н = 1Щ- <5-26>
Отвечающие этой плотности вероятностей среднее значение величины Нг!Щ при
п-у оо стремится к единице, а среднеквадратичное отклонение равно /г-1/*.
Поэтому число п является мерой неупорядоченности системы. В частности,
при п-* оо мы получаем полностью упорядоченную систему, в которой все Hj
равны #0.
Распределение (5.26) не соответствует какой-либо более или менее
реалистической физической модели. Его достоинство и причина, по которой
оно приводится здесь, заключаются в возможности получения в этом случае
замкнутого выражения для плотности состояний.
Предельная при N -> оо форма соотношения (5.12) будет в этом случае
такой:
"т - Нт{Е - ""-i)'1- (5.27)
63
Случайные величины Нт, отвечающие распределению (5.26), могут принимать
любые значения, поэтому спектр рассматриваемой системы будет занимать всю
ось. Так как в выведенных выше формулах энергия Е всюду не принадлежит
спектру, то она должна быть комплексной. Удобно взять Е чисто мнимой: Е =
t?, а вместо ит рассмотреть величину Ът = - ит/Е. В результате
соотношение (5.27) принимает форму
S"=^M 1т=1,2........................ (5.28)
где А = ?а//2, hm = IPJHI Вместо (5.19) будем иметь
О т = In iZ + j In (1 +|) P (?) Й, (5.29)
0
где P (?) -стационарная плотность вероятностей величины ?. Для нее из
(5.28) вытекает следующее уравнение, аналогичное (5.25):
Р Ю = I Рп (^Г11) Р
о4 '
Непосредственная проверка показывает, что в случае, когда Рп имеет вид
(5.26), решением уравнения служит функция
Р (c) = Мп1 (Ц I"'1 (1 + l)~n exp (- nlА),
где Мп (X) - нормировочная постоянная:
00
M"W = j>-41+ir"exp(-4W.
о
Соотношение (5.29) теперь приобретает вид
Q(iC) = lnt? + LBW/AfllW.
где
Ln (*) = J ?"-1 (1 + Й~" In (1 +1) exp
о
С другой стороны, так как плотность состояний р (Е) в рассматриваемой
системе с Uп - 0 является четной функцией энергии *), то из определения
(5.19) функции 0(B) вытекает, что
Q{E)= J In (?а-?'а)р (?')<*?'•
о
*) Это вытекает из соотношения DHnD-1 = - Нм, где D-диагональная
?
матрица, на диагонали которой стоят числа d; = JJ {-Нт). Отсюда вытекает
1
также, что недиагональные элементы Нт можно всегда считать
положительными. 64
Эта формула аналогична первоначальной, только в ней роль энергии играет
Е2. Поэтому с помощью соотношения типа (5.20) в данном случае из
аналитического продолжения по Ez в область отрицательных значений мы
найдем функцию
Е
Jt(E)=lp(E')dE',
о
а не истинное число состояний
оГ(?)= I р (E')dE',
что, впрочем, вполне достаточно для нахождения р (Е) в силу ее четности.
Осуществляя, согласно [16] (см. также [43]), аналитическое продолжение
интегралов Л1И(Х) и L"(^) в область отрицательных значений к и используя
формулу (5.20), получим, что
= б?+f"О.еof з-fi2+(л V6 - fЩ е~11 "е
{^+[fi-(ln(en)+s"-i+C)F0]e-',e}4nVSe_a',e Здесь е"1 - Ег!Щ, С-постоянная
Эйлера,
П П
п - 1 п - 1
v V пт (-лв)" с _ V "Я (-пе)*
*о - Zu^n-x т1 . - Z-l от!
о о
р.ур а-УГ" <-")*""
0 0
0,=?с?..1+тЬ^ (?+<").
о
Из этой формулы, в частности, следует, что off (Е) при малых Е ведет себя
как
-Л/(а!п2(пе",
в соответствии с чем плотность состояний имеет при малых энергиях, т. е.
в окрестности центра зоны, особенность вида
Е
А {2Еа
In3
По
(5.30)
Существование этой особенности обусловлено тем, что согласно закону
(5.26) распределения случайных величин Нп каждая из них может принимать
сколь угодно малые значения. Чтобы лучше понять это утверждение,
рассмотрим более простой случай, когда Нт могут принимать нулевые
значения с ненулевой
3 И. М. Лифшиц и др. 65
вероятностью с. Тогда исходная матрица HN разбивается на не связанные
между собой блоки случайных размеров, и в центре зоны возникает
особенность с(2а)_16(?), так как у блоков нечетного порядка обязательно
будет уровень в нуле (все блоки, как было отмечено в сноске на стр. 64,
будут иметь симметричный относительно нуля спектр).
Что же касается особенностей в плотности состояний, которые были в
упорядоченной системе на краях зоны (р(?) - = (2?tatf0)_1 (1 - ?2/4ЯЦ)-
1^, если все Нт равны Я0), то они в неупорядоченном случае исчезают.
Поведение р (?) при малой неупорядоченности (п-+оо) детально
проанализировано в [43|, где выяснен характер сглаживания этих
особенностей и асимптотический при п-уоо вид р (Е) во всей области
значений энергии (см. также п. 5.3).
Существование особенностей в центре зоны у плотности состояний в том
случае, когда уровень Ферми попадает в эту точку, приводит к особенностям
в термодинамических величинах. Действительно, например, магнитная
восприимчивость в нулевом поле неупорядоченной электронной системы при Т
-* 0 имеет вид
Аналогичная особенность возникает и в Х--У-модели [7, 43], эквивалентной
газу свободных фермионов с энергиями, которые являются собственными
значениями рассматриваемой нами матрицы HN, играющей в X-У-модели роль
