Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
такая линия возникает от свертки
<?'+ (t, г) (t, г)>, представляющей плотность надконденсатных
х) По аналогичной причине обращались в нуль некоторые диаграммы для
рассеяния двух частиц в вакууме-ср. § 16,
156
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
частиц. Далее, равны нулю диаграммы, содержащие сплошную линию, замкнутую
пунктиром:
О
Такая линия возникает от свергки <W'+ (t, г2) Ф' (t, гх)> двух ^-
операторов внутри одного и того же оператора взаимодействия V (t), в
котором стоят слева от
Наконец, равны нулю все диаграммы, в которых можно провести замкнутый
контур по некоторой последовательности сплошных и пунктирных линий так,
что направления сплошных линий вдоль всего контура одинаковы. Изобразим
контур такого рода, указав у точек на концах линий временные аргументы ^-
операторов:
Аргументы на концах каждого пунктира одинаковы1). Аргументы .же функций
Gl0), отвечающих сплошным линиям, равны разностям ^ - tlt t3-12, ti -13,
tx - ^4; для любого замкнутого контура их сумма будет равна нулю, так что
хотя бы один из них отрицателен и соответствующая функция Gm обратится в
руль.
Описанные правила относятся и к диаграммам, определяющим аномальную
функцию Грина, с той лишь разницей, что обе сплошные внешние линии должны
быть выходящими (для функции F) или обе входящими (для функции F+).
Соответственно становятся неодинаковыми в этих диаграммах числа входящих
и выходящих волнистых линий-так, чтобы общее число всех выходящих линий
осталось равным общему числу входящих. Одной из внешних сплошных линий
приписывается 4-импульс Р, а другой - 4-импульс-Р (где Р - аргумент
искомой функции F (Р) или F+ (Р))2); сумма 4-импульсов обеих этих линий
должна быть равна- нулю в силу "закона сохранения 4-импульса",
примененного к диаграмме в целом.
Вычисленные по диаграммной технике функции Грина содержат два параметра -
химический потенциал ^ и плотность конденсата я0; эти параметры надо еще
связать с плотностью
!) Напомним, что в пространственно-временном представлении диаграмм
пунктирной линии между точками 1 и 2 сопоставляется множитель Ш (Хх -
Х%), содержащий S-функцию д (tx - /а).
2) Поскольку F-четная функция своего аргумента, то выбор общего знака
Р здесь несуществен.
§ 33]
С013СТВЕНН0-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
157
жидкости n - N/V. Одно соотношение между этими тремя величинами дает
формула (31,6), следующая непосредственно из определения функции Грина. В
качестве второго соотношения можно пользоваться полученным ниже
уравнением (33,11), явно выражающим (д. в терминах понятий диаграммной
техники.
§ 33. Собственно-энергетические функции
Изучим более подробно структуру диаграмм для функций Грина, введя в
рассмотрение понятие о собственно-энергетической функции подобно тому,
как это было сделано в § 14 для ферми-систем: путем рассмотрения
совокупности всех диаграмм (с двумя внешними сплошными линиями), которые
не могут быть рассечены на две части пересечением лишь одной сплошной
линии. В отличие от § 14, однако, теперь возникают различные возможности
в смысле направления внешних линий диаграмм: наряду с диаграммами с одной
входящей и одной выходящей линией существуют диаграммы с двумя выходящими
или двумя входящими линиями. Соответственно этому, возникают собственно-
энергетические части трех родов:
(в этих обозначениях первый индекс у 2 указывает число входящих, а второй
- число выходящих внешних сплошных линий). Наряду со сплошными внешними
линиями собственноэнергетические диаграммы имеют, вообще говоря, также и
волнистые (конденсатные) свободные концы. Эти концы включаются в
определение собственно-энергетической функции, изображенной здесь
кружком. Мы увидим ниже, что функции 202 (Р) и 220 (Р) фактически
совпадают
Сразу же отметим также, что поскольку Р и -Р входят в определение этих
функций симметричным образом, они четны по своему аргументу:
Приведем для иллюстрации все отличные от нуля диаграммы функций и 202 в
двух первых порядках теории возмущений
(33,1)
2"2(^) = 220(Р).
(33,2)
2"2 (Р) = 201 (-/>).
(33,3)
(33,5)
158
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
Составим теперь уравнения, выражающие точные функции G и F через
собственно-энергетические функции.
В терминах теории возмущений разность G(P) - G(0) (Р) выражается суммой
бесконечного числа диаграмм-цепочек вида
--о......о^-Ь^-
I.
*уО......
состоящих из различных чисел кружков, соединенных всеми возможными
способами стрелками прямого и обратного (по сравнению с двумя крайними)
направлений. Аналогичным образом, точная функция F (функция F(0) = 0)
изобразится суммой цепочек, в которых две крайние стрелки имеют
противоположные направления:
cji~-0 о~"*
I
*^*С|~7гО...........О-у*
Если отсечь во всех этих цепочках крайнее звено (кружок вместе со
стрелкой) как показано вертикальным пунктиром, то совокупность оставшихся
диаграмм с одинаковыми направлениями крайних стрелок снова будет
совпадать с точной функций G, а совокупность диаграмм с противоположными
направлениями крайних стрелок-с точной функцией F.
