Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
же формулам (7,21-22). Нормировка функции G (со, р) выра-
жается формулой
-f = "0 + Mim Jg(<b, P)e-'W9J? (31>6)
(ср. (7,24)).
Для функции Грина бозе-системы в импульсном представлении можно получить
разложение, подобное тому, которое было получено в § 8 для ферми-систем.
Полностью аналогичные вычисления приводят сначала к формуле
G (со, р) = (2я)3 Vi /ЛАМ(Р~1Н . , -п---
т I " + ?о(Л0 - (Л/ + 1) + (г + "0
_____________ВтЬ (Р + Pg")_____1 /о 1 ~7\
a-E0(N) + Em(N-\) + ^-iQ /'
где
^и = 1<0!?(0)|т>|2, Яи = |<т|?(0)|0>|а
(гр' (г)-шредингеровский надконденсатный оператор)2). Для приведения
этого разложения к окончательному виду замечаем, что энергии возбуждения
e.m(N) в бозе-системе определяются как (всегда положительные) разности
между энергиями возбужденных состояний системы и энергией ее основного
состояния при неизменном числе частиц N. Учитывая, что ?'0(Л^) + |^~
1) Как и для ферми-систем, мы будем рассматривать состояния бозе-
системы при заданном значении химического потенциала ц (а не числа N).
Соответственно роль гамильтониана системы играет разность Н' = Н-jxTV
(7,1). При этом конденсатная часть г]>оператора от времени не зависит.
2) Формула (31,7) отвечает формуле (8,7). Множитель 1/2 отсутствует
те-
перь в связи с бесспиновостью частиц. Обратим внимание на другой знак
перед.вторым членом в (31,7) по сравнению с (8,7).
§ 31J ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ 149
л? .Ео (TV-f-1), находим поэтому, что
Em(N+l)-E0(N)-\x" Em(N + \)-E0(N+l) = zm(N+l) > О, ?т(#-1)-?о(ЛО + И*
Em(N-l)-E0(N-l) = zm (N- 1) > 0.
Но добавление или удаление одной частицы меняет свойства системы лишь в
членах относительного порядка ~1 /N', для макроскопической системы эти
члены пренебрежимо малы, так что энергии возбуждения ет(Л^±1) следует
считать совпадающими друг с другом и с em(N). Таким образом, окончательно
находим
G<СО р) = (2я)3 'У I ____(Р + Р/я)) " "
и(со, р; (/л; ш_ет + 1-0 ш+ея)_(о (31,8)
Тем же способом, как было получено (8,14), отсюда легко
найти, что для бозе-систем мнимая часть функции Грина всегда
отрицательна:
Im G (со, р) < 0. (31,9)
Асимптотический вид функции Грина при со-юо остается тем же, что и в
случае ферми-систем:
G(со, р)-*- 1/со при |со[ -> оо (31,10)
(ср. (8,15)). При его выводе следует учесть правило коммутации
V(t, I\)^((, Г,)-*+(*, г.)*(*. ri) = 6(rx-r2),
в котором стоит теперь коммутатор операторов Ф и Чг+ вместо
антикоммутатора х).
Далее, такие же рассуждения, что и в § 8, приводят к основному результату
о том, что полюсы функции Грина определяют спектр элементарных
возбуждений
G"i(e, р)=0, (31,11)
причем следует брать только положительные корни этого уравнения; в
отличие от (8,16), вычитать ц из е здесь не требуется. Вблизи своего
полюса функция Грина имеет вид
G (to, P)~"-^f(pj-, z+>Q, -?-<0; (31,12)
знак вычета в полюсе совпадает со знаком со, как это следует из
положительности коэффициента Ат, Вт в (31,8) (величина же вычета не
ограничена никакими условиями, подобными, например, условию (10,4) в
случае ферми-систем). Используя
*) Тот факт, что в определении G выделена конденсатная часть ip-
операторов, здесь несуществен: постоянному члену -in0 в (31,3) в
импульсном представлении отвечает 6-функция 6 (со) 6 (р), не отражающаяся
на (31,10).
150
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
[ГЛ. III
выражение (31,12), легко убедиться.(подобно тому, как это было сделано в
§ 8), что неравенство (31,9) автоматически обеспечивает положительность
коэффициента затухания квазичастиц, т. е. нужный знак -1ше>0, когда
значения е сдвигаются в комплексную область.
Возможность перехода надконденсатных частиц в конденсат и обратно
приводит к тому, что в математическом аппарате функций Грина для бозе-
систем наряду с функцией (31,1) автоматически появляются (как мы увидим в
§ 33) также и функции
iF(Xit Х2) = < N-2 | ТТ (X,) W' (Х2) | N >, (31,13)
iF+ (Хи Х2) = < ЛГ| Т^'+ (Хх) Ф' + (Х2) | N-2 > =
= < N + 2|ТЧГ' + (X,) Ф' + (X,) \N>, (31,14)
где матричный элемент берется для переходов с изменением полного числа
частиц в системе, а символ |А^> означает основное состояние системы с N
частицами (последнее равенство в (31,14) справедливо с точностью до
величин ~ 1/N-ср. примечание на стр. 130). Определенные таким образом
функции F и F+ называют аномальными функциями Грина. Покажем, что в
однородной и неподвижной жидкости функции F и F+ совпадают друг с другом.
Как и функция G, функции F и F+ для однородной жидкости зависят только от
разности Х - Х*- Ха1). При этом, поскольку перестановка Хх и Х2 меняет
лишь порядок расположения операторов в произведении, который все равно
устанавливается операцией хронологизации, то
F(X) = F(-X). (31,15)
Отсюда следует, конечно, что и в импульсном представлении F - четная
функция своего аргумента
F(P)=F( - P). (31,16)
Далее, определенное соотношение между F и F+ возникает как результат
следующего свойства гейзенберговского г^-оператора
х) Независимость функции F от суммы времен fj+fa связана с тем, что
