Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Kx =д-^ = Ap-Cf4-В'г,
Ky = W=-C'P + Bq-А'г,
*. = % = —B'p—A'q + Cr,
где А, В, С означают моменты инерции (теперь уже не главные) относительно осей X, у, Z и А', В', С' — те структурные коэффициенты твердого тела (относительно той же самой системы отсчета), которые мы назвали выше произведениями инерции (центробежные моменты, моменты девиации).
В более частном случае вращения вокруг оси Ох, которое мы Беотии придать здесь твердому телу и которое определяется условиями
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ПО ПУАНСО
91
¦где р0 есть заданная угловая скорость, мы должны будем положить Kx = Ap0, Ку = — С'р0, Kz = -B'р0.
С другой стороны, если обозначим через M неизвестный добавочный момент, то будет справедливо второе из основных уравнений в виде
ЛГ+й>ХАГ = М;
достаточно спроектировать это уравнение на подвижные оси, чтобы получить уравнения
Mx = 0, My = BrPl Мг = -С'р%
однозначно определяющие искомый добавочный момент. Этот момент M будет равен нулю только тогда, когда одновременно исчезают В' я С', т. е. (как известно) когда ось вращения является главной осью инерции; и во всех случаях именно коэффициенты В', С' определяют этот добавочный момент. В более выразительной форме можно сказать, что необходимость прибегать к добавочному моменту для того, чтобы сделать невозможным смещение оси вращения из ее начального положения Ох, обусловливается наличием двух коэффициентов В', С'. Так как то же самое можно сказать и о коэффициентах С', А' по отношению к оси Oy и, соответственно, о коэффициентах А', В' по отношению к оси Ог, то оказывается оправданным название моментов девиации, которое мы приписали структурным коэффициентам А', В', С' твердого тела (т. I, гл. X, п. 22).
14. Прецессионный характер движения по инерции твердого тела с гироскопической структурой относительно закрепленной точки. В случае твердого тела, имеющего относительно своей закрепленной точки О гироскопическую структуру, легко описать кинематические свойства движения более точным и полным способом, чем тот, который дается для общего случая чисто геометрическим рассуждением Пуансо.
Действительно, возьмем снова первое из уравнений Эйлера в гироскопической форме [п. 7, уравнение (15)]. Так как, по предположению, результирующий момент M внешних активных сил относительно точки О равен нулю, то это уравнение принимает здесь вид
Cr = O
и выражает то обстоятельство, что в продолжение всего движения проекция г угловой скорости на гироскопическую ось остается постоянной.
Вспомним теперь общее выражение, найденное в п. 17 гл. IV для угловой скорости тела с гироскопической структурой,
ю = (23>
где k обозначает единичный вектор гироскопической оси.
92
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Так как этот единичный вектор к, по определению, не изменяется в теле, а с другой стороны, в настоящем случае г постоянно и речь идет о движении по инерции, а это значит, что момент К неподвижен в пространстве, то из предыдущего выражения для о» мы видим, что угловая скорость есть сумма двух векторов постоянной величины, первый из которых, направленный по К, неподвижен в пространстве, а второй, направленный по k, неподвижен в теле. Этого достаточно для того, чтобы можно было заключить (т. I, гл. IV, п. 15), что всякое движение по инерции- твердого тела с гироскопической структурой относительно закрепленной точки О представляет собой регулярную прецессию, имеющую осью прецессии прямую, параллельную моменту К количеств движения и проходящую через точку О, и осью фигуры —- его гироскопическую ось. Обозначим через х единичный вектор (неподвижный в пространстве) момента К и введем характеристические элементы любой регулярной прецессии, т. е. угловую скорость W1 = у-k, которую можно назвать собственной для твердого тела или гироскопической, угловую скорость W2 = vx прецессии и угол Q = Xife. Тогда, применяя критерий п. 17 гл. III т. I, мы можем видеть, идет ли речь о прямой (прогрессивной) или обратной (регрессивной) прецессии, в зависимости от того, будет ли положительным или отрицательным скалярное произведение
W1 . W2 = (IV COS 0.
ТеАерь из сопоставления выражений
a) = vx-j-[A& (23')
и (23) имеем прежде всего
а с другой стороны, умножая скалярно обе части равенства (23' на k, получим
(J) • k — Г — V COS 0 JX..
Таким образом, исключая г из двух последних уравнений, мы увидим, что характеристические элементы всякой регулярной спонтанной прецессии твердого тела с гироскопической структурой относительно неподвижной точки связаны соотношением
(л—С) vcos S-C11 = O. (24)
Отсюда получим
Cm-2
^vcosQ = W1 • =
таким образом, мы видим, что прямой или обратный характер регулярной прецессии зависит исключительно от структуры твердого тела: прецессия будет прямой, если эллипсоид инерции (относительно за-
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ПО ПУАНСО
93
крепленной точки) будет удлиненным (А > С) (фиг. 13), и обратной, если этот эллипсоид будет сжатым (А < С) (фиг. 14).
Заметим, наконец, что мы, естественно, снова найдем равномерные вращения вокруг (бесконечно большого числа) главных осей инерции как вырожденные случаи прецессии.
