Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Д*=М, =
при этом предполагается, что в выражениях векторов К, К' через проекции характеристических векторов (формулы (30) гл. IV, которые для простоты удобно спроектировать прямо на главные оси инерции относительно точки О) скорости vQ, V0 должны быть исключены при помощи уравнений (4).
19. Плоская задача. Применим общие рассуждения предыдущего упражнения к случаю двух твердых плоских фигур, связанных шарниром в некоторой точке О и находящихся под действием импульсов, лежащих в плоскости фигуры.
Примем систему неподвижных осей х, у, имеющих началом положение занимаемое шарниром в момент, когда будут приложены импульсы. Обозначая через х, у и х', у' координаты центров тяжести О, G' обеих фигур и имея в виду скорости точек G, G', которые мы обозначим здесь через с, v', на основании равенства (3), спроектированного на обе оси, будем иметь йрежде всего
m^vx -j- т Avx = Ra. + R^., mAvy + т Avy = Rjy + R^f; (5)
приравнивая проекции изменения скорости точки О, которые мы получим, рассматривая эту точку как принадлежащую один раз телу S, а другой раз телу S', придем к уравнениям
Avx +уАи> = Av'x-\-y Аш', Avy— хДо> = Kvy — х Au , (6)
где скалярные величины ш и о/, как и в случае непрерывного плоского движения (гл. VII, п. 14), представляют собой угловые скорости с надлежащим знаком.
УПРАЖНЕНИЯ
527
Что касается уравнений моментов, то они здесь принимают вид СДо. + т (xlivy — ybvx) = Mz, С'До/ + т' (x'Avy — У Avx) = M;, (7)
где CC' обозначают центральные моменты инерции двух тел (относительно перпендикуляра к плоскости) и, естественно, Mjs, Мг — моменты относительно точки О импульсов, прямо приложенных к S и S'.
20. Предположим, что S, S' (предыдущее упражнение) суть два однородных стержня OA, OA', равной длины I и равной массы т. В некоторый заданный момент, когда они перпендикулярны между собой и находятся в покое, на точку А' действует импульс величиной I, перпендикулярный к OA' и направленный в сторону OA. В таком случае, если совместим оси х, у с направленными прямыми, на которых в момент действия импульса находятся соответственно OA, OA', уравнения (5), (6), (7) предыдущего упражнения примут вид
«#+*4+ = -^> vV + V'y+ = 0; (5,)
»?=*4++?-"4"' 4~тш+ = г4+; (6,)
Cu+ + Imv+ = 0, С'ш'+ — і Imv + = — 11. (T)
Принимая во внимание, что С — ml2/12, доказать, что импульс не сообщит стержню OA никакой угловой скорости и скорости центров тяжести в направлении, нормальном к самому импульсу, не изменятся: скорости же центров тяжести в направлении импульса будут направлены в противоположные стороны и будут находиться в отношении 2/7 между собой, д угловая скорость стержня OA' будет равна —18//(5/т).
21. Наряду со случаем предыдущего упражнения рассмотреть и те слу чаи, когда стержень OA' свободен или же закреплен в О, и проверить, что-
а) скорость центра тяжести OA' в направлении и в сторону импульса равна І/m для свободного стержня, SIj(2т) для стержня, закрепленного в точке О, 7//(5т) в случае шарнирного соединения с CM; б) значения угловой скорости стержня соответственно будут —SfI(Im), —3II(Im), —18//(5/т);
в) скорости точки приложения импульса соответственно равны 4Ijm, ZIjm, WI(Sm).
22. Рассмотрим центральный удар между двумя телами, и притом не обязательно прямой (как это всегда имеет место в случае двухшаров). Значения после удара нормальных составляющих двух скоростей центров тяжести во всяком случае можно представить элементарными формулами п. 4, так что, в частности, для удара двух равных и совершенно упругих шаров останется в силе правило, что шары обменяются нормальными составляющими скоростей соответствующих центров тяжести (а касательные составляющие останутся неизменными).
23. Интересные задачи об ударе между шарами, большей частью равными, или между шарами и плоскостью относятся к игре на биллиардеі в частности, к игре в карамболь. Ср. G. Coriolis, Theorie mathematiqur, des effets du jeu du billard, Paris, 1835, Н. Re sal, Commentaire 4 la theoee: mathematique du jeu du billard, Jourtt. de math. (3), т. 9, 1883, стр. 65—98-
G. W, Hemming, Billards mathematically treated, London, 1899; пб тех нике игры и по историческим и библиографическим замечаниям см. J. Gell і, Bigliardo, bagatella е gioco delle bocce, Milano, Hoepli (4-е издание), 1924.
528
ГЛ. XII. ІЕОРИЯ УДАРА
24. На материальную систему с какими угодно связями действуют две различные системы ?, ?' активных импульсов.
Из символического уравнения (48) движения под действием мгновенных сил (п. 22) в предположении, что скорости удара удовлетворяют уравнению (49) (в силу чего Aci входят в число виртуальных перемещений ВPi), следует, что при внезапных изменениях скоростей, происходящих от импульсов E7, импульсы ? совершают полную работу, равную той, которукишпульсы ?' совершают при внезапных изменениях скоростей, вызванных импульсами ?. Cm. N. Seiliger. Comptes rendus, т. 117, 1893, стр. 578—579. Аналогичное предложение, относящееся к обыкновенным силам (гл. V, упражнение 7), было впоследствии установлено Морера.
