Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы максимально упростить постановку задачи, предположим, что поверхность крыльев схематически изображается в плоскости движения посредством отрезка GA. Далее, мы будем представлять себе ось Gx ориентированной в направлении движения; выберем за
4 Зах> 2368. Т. Леви-Чивнта в У. Амальдв
50 ҐЛ. VII. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧЙ
положительное направление вращения вокруг G в плоскости движения то, которое идет от Gx к вертикали, направленной вверх, и введем четыре угла: 1) так называемый угол носовой качки (угол тангажа), т. е. угол 0, по абсолютной величине меньший ти/2, образуемый осью Gx с горизонталью, проходящей через точку G; 2) угол і между осью Gx и прямой GA, определяющий положение профиля крыльев; 3) так называемый угол атаки а, образуемый направлением вектора скорости центра тяжести v с профилем крыльев GA; 4) угол <р между осью Gx и направлением вектора скорости v.
Очевидно, имеем
а = і — <р; (50)
заметим теперь же, что при нормальном полете 0 = 0, со = 0, a = it так что при движении, близком к нормальному, определенном выше, угол а надо принять существенно положительным.
Направляя* ось Gy в плоскости движения вверх, перпендикулярно к оси Gx, найдем для проекций vx, Vy скорости центра тяжести v выражения
vx = vcosy, Vy = Vsmy. (51)
23. Если, далее, примем для простоты массу самолета за единицу,
то дифференциальные уравнения движения в проекциях на только что выбранные подвижные оси принимают вид (п. 14)
Va — шу = Rx, Vy -f Wx = Ry, (52)
32ш = Mtf (53)
где символы имеют обычное значение и, в частности, «о обозначает угловую скорость 0. Теперь все сводится к тому, чтобы уточнить природу сил^ действующих на самолет при указанных выше условиях.
В основном играют роль три силы: вес, сопротивление воздуха и сила тяжести винта, которые для простоты мы будем предполагать отнесенными к единице массы.
Так как нисходящая вертикаль образует с подвижными осями Gx, Qy соответственно углы 0-f-7c/2, 0 + я, то проекции силы тяжести будут — g sin 0, — g COS 0.
Что же касается сопротивления воздуха, то в условиях продольного полета оно приводится к единственной силе Ф, приложенной в точке С оси, называемой центром давления. Многочисленные опыгпы1) позволяют утверждать, что, по крайней мере для малых
!) Cm., например, С г о с с о, Di un importante coefficiente di stabilita negli aeroplani, Rend. Llncei, т. XVIII, 190?, стр. 571—575; Sulla stabilita Iaterale degli aeroplani, Rend, delle esperienze... aeronautiche del Genio, Anno II (1912)» стр. 77—142. PainlevS — Borel — Maurain, L'Aviation, Paris. 1923; заметку I Fuchs — Hopf, Aerodynamik, Berlin, 1922: ч. II, гл. Ill, Cm. также трактаты Bothezat (Paris, 1911) и В г у an (London, 1911), в которых рассматриваются некоторые частные задачи об устойчивости движения аэроплана.
§ 8. УСТАЙОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ САМОЛЕТА
51
углов атаки а и для малых углов тангажа 6, компоненты Ф„, Ф„ вектора Ф по ориентированному направлении) скорости v центра тяжестй и по направлению нормали v, ориентированной относительно V, как ось у относительно оси х (называемые соответственно лобовым сопротивлением и подъемной силой) выражаются в виде
Ф„ = — (Xaa -4~ /) г/2, Ф„ = Хаг>2, (54)
где X и / суть положительные коэффициенты, причем второй обычно мал по сравнению с единицей (и, следовательно, им можно пренебречь в первом приближении), а угол а, как мы видели, связан с углами і и <р формулой (50).
Наконец, обозначим через XnY компоненты по осям Gx и Oy силы тяги винта и через результирующий момент относительно центра тяжести всех действующих сил.
24. При нормальном полете, можно принять, что сила тяги винта
направлена по оси Gx самолета (Y — 0); при этих условиях уравнения (52), (53) должны удовлетворяться величинами 6 = = О,
vx = V0 = const, Utf = O, CO = 0.
Таким образом для уравнений движения мы имеем частное решение статического типа; так как в этом случае ориентированные направления скорости V и перпендикуляра к ней v совпадают соответственно с направлениями подвижных осей Gxy, то уравнения (52), (53) дают
— (Xi3 + /)^ + *= О, — ^ + XfcS = O, Aft = O. (55)
Заметим прежде всего, что второе из этих уравнений показывает, что при заданном угле атаки (который здесь совпадает с углом наклона профиля крыльев к горизонту) всякий самолет имеет вполне определенную, соответствующую этому углу скорость установившегося движения V0, и если нужно изменить эту скорость, то не достаточно изменить режим мотора, а необходим, кроме того, некоторый маневр, изменяющий угол атаки.
Отметим далее, что первое из уравнений (55) определяет интенсивность силы тяги, которая должна быть развита мотором для преодоления (прямого) сопротивления воздуха; из второго из уравнений (55) мы видим, что при этих условиях подъемная сила в точности уравновешивает силу тяжести. Можно сказать, что подъемная сила возникает по существу благодаря сопротивлению воздуха и только косвенно — благодаря работе мотора.
25. Предыдущие результаты, относящиеся к нормальному полету, могут служить отправной точкой для исследования движения более общего вида. Мы не намерены здесь входить в подробности и, отсылая к специальным, цитированным выше сочинениям, ограничимся лишь некоторыми вопросами, относящимися к условиям продольной
