Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
В динамическом случае спонтанного движения достаточно обратиться к соображениям п. 15 и ввести в пространство Г„ обычное мероопределение ds2 = 2T dt2, чтобы точно видеть, что условие (58) выражает ортогональность перемещения ЬР к траектории или к геодезической линии соответствующего метрического многообразия Vn 1^. Если в более общем случае, оставаясь все же в пределах динамического случая, мы предположим, что действующие силы консервативны, но не равны нулю, и выберем некоторое значение для постоянной E энергии, то, как мы знаем, соответствующая связка траекторий будет тождественна с совокупностью геодезических линий метрического многообразия с линейным элементом
ds\ = 2 (?7+ Е) ds'1 = 4 (U-J- Е) TdP,
так что соотношение (58) будет все еще определять ортогональность между перемещением 8Р и траекторией, HO по отношению к этому последнему мероопределению, а не к мероопределению, соответствующему простой живой силе. Так, например,-если речь идет о свободной точке (с массой, равной единице), находящейся под действием силы, являющейся производной от потенциала U(x,y,z), то следует рассматривать уже не евклидову метрику физического пространства, определяемую обычным соотношением ds2 = dx2 -j- dy2 -j- dz2, а метрику некоторого воображаемого пространства, линейный элемент которого отличается от элемента ds2 на позиционный множитель.
Для удобства выражения мы условимся здесь вообще применять терминологию, точнцй геометрический смысл которой был выяснен в только что указанных случаях; и всякий раз как перемещение ЬР и траектория, выходящие из одной и той же точки Р, будут удовлетворять уравнению (58), мы будем называть их ортогональными, даже если мы не захотим или не сможем ввести в абстрактное пространство Г„ координат q метрику, которая вносит в этот способ выражения точное геометрическое содержание. В соответствии с этим соглашением мы скажем, что траектория, проходящая через некоторую точку P любой гиперповерхности или многообразия с я — 1 измерениями из пространства Гп будет ортогональна к этой гиперповерхности, если она ортогональна ко всем перемещениям ЬР, которые переводят
*) Cm. например, Т. L е v i-C і v і t a, Lezioni di CaIcolo differenziale assoluto; Рим, 1925, гл. V, § 22.
29 Зак. 2368. Т. Леви-Чивита и У. Am а льд и
450
ГЛ. XI. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
точку P в другую бесконечно близкую точку той же самой гиперповерхности а.
Заметив это, вспомним, что когда 2 не зависит от t, траектории связки составляют многообразие оо2”-2 измерений, и потому в пространстве Yn конфигураций одна и только одна из них проходит через заданную точку в заданном направлении. Отсюда следует, что если дана произвольная гиперповерхность о0, то через всякую ее точку, по крайней мере в некоторой области, проходит одна и только одна траектория рассматриваемой связки в направлении, ортогональном к о0. Можно представить себе, что для каждой из оо”-1 траекторий определено действие А, начиная от точки P0; в геодезическом случае, как уже не раз указывалось, действие А тождественно с длиной дуги, измеряемой от точки P0. Если каждой точке P0 сопоставим на соответствующей траектории ту точку Р, в которой действие достигает некоторого произвольно заданного значения а, то геометрическим местом таких точек P будет новая гиперповерхность. Существует замечательное свойство, что рассматриваемые траектории будут все ортогональными также и к этой гиперповерхности.
Это является почти непосредственным следствием из формулы (57). Действительно, на гиперповерхности о действие А в силу самого определения о имеет постоянное значение а, так что для произвольного перемещения по поверхности имеем SA = 0. Так как в силу ортогональности каждой из рассматриваемых траекторий в ее начальной точке P0 к исходной поверхности о0 справедливо соотношение
ІХЧ = 0.
Л = 1
то из формулы (57) получим, что на другом конце траектории имеет место аналогичное тождество
П
^iPh^Qh — О,
Л = 1
которое как раз и выражает утверждаемую ортогональность отдельных траекторий к гиперповерхности о.
Эта теорема для случая геодезических линий принадлежит Бель-трами 0, а обобщение ее на связки динамических траекторий принадлежит Липшицу2).
Мы получим известное и в то же время важное следствие, рассматривая совокупность траекторий связки, которые выходят из одной и той же точки P0 в CXJn-1 возможных направлениях. Мы имеем здесь
*) Сочинения, т. II, стр. 89.
*) Crelle, т. 74 (1871), стр. 116 —149. Рудольф Липшиц родился а Кёнигсберге в 1832 г., умер в Бонне в 1903 г.; был профессором Боннского университета. Он прежде всего был аналистом, но внес также важный вклад в механику и в теорию чисел.
§ 6. ВАРЬИРОВАННЫЕ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ВАРЬИРОВАННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 451
дело с тем случаем, когда исходная поверхность о0, стягиваясь, сводится к точке P0, и установленная выше теорема непосредственно дает, что эти со”-1 траекторий ортогонально пересекаются всякой поверхностью А = const.
В виде частного приложения мы можем представить себе световые лучи в оптически изотропной, но неоднородной среде с коэффициентом преломления п(х,у,г), меняющимся от точки к точке. Как мы уже видели в п. 18, световые лучи тождественны с геодезическими линиями метрического многообразия, имеющего линейным элементом ds1==nds, где ds есть обыкновенный линейный элемент физического (евклидова) пространства. Так как элемент dst отличается только позиционным множителем п от евклидова элемента ds, то обобщенные количества движения р траекторий будут также отличаться только на локальный множитель от направляющих косинусов соответствующей касательной, так что введенное выше условие ортогональности (58) приобретает в этом случае обычный смысл, который оно имеет в элементарной метрике. С другой стороны, как было отмечено в п. 18, nds есть не что иное, как элемент времени dt, которое требуется свету, чтобы пройти элемент пути ds; следовательно, действие сводится к времени распространения света. Таким образом, мы на основании теоремы Бедьтрами — Липшица заключаем, что световые лучи, которые в заданный момент выходят из заданной поверхности а0 в направлении, ортогональном к о0, или, в частности, из единственного центра, остаются всегда ортогональными к поверхности Z=Const, каков бы ни был показатель преломления п, т. е. какова бы ни была неоднородность среды. Эти поверхности, представляющие собой геометрические места точек, к которым свет приходит за один и тот же промежуток времени, образуют так называемые волновые поверхности (см. гл. X, упражнение 13).
